Номер 106, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

106. Отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $E$, причём $AE = a$. Найдите отрезок $CE$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $CD$ является биссектрисой угла $\angle C$, следовательно, он делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD$.

Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $BC$ и секущую $CD$. Углы $\angle EDC$ и $\angle BCD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle EDC = \angle BCD$.

Так как $\angle ACD = \angle BCD$ (по свойству биссектрисы) и $\angle EDC = \angle BCD$ (как накрест лежащие), то мы можем заключить, что $\angle ACD = \angle EDC$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике углы при основании $CD$ равны: $\angle ECD = \angle EDC$ (поскольку $\angle ECD$ это то же самое, что и $\angle ACD$). Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $CDE$ — равнобедренный, и его боковые стороны $CE$ и $ED$ равны: $CE = ED$.

Чтобы найти $CE$, достаточно найти длину отрезка $ED$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Нам известна сторона $AE = a$ и угол $\angle DAE = \angle A = \alpha$. Найдем другие углы этого треугольника.Так как $DE \parallel BC$, то при секущей $AB$ соответственные углы $\angle ADE$ и $\angle ABC$ равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle B = \beta$.

Теперь в треугольнике $ADE$ известны сторона $AE=a$ и два угла: $\angle DAE = \alpha$ и $\angle ADE = \beta$. Применим к этому треугольнику теорему синусов:

$\frac{ED}{\sin(\angle DAE)} = \frac{AE}{\sin(\angle ADE)}$

Подставим известные значения:

$\frac{ED}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим длину стороны $ED$:

$ED = a \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Поскольку мы ранее доказали, что $CE = ED$, то:

$CE = a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$