Номер 108, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

108. Медиана $CD$ треугольника $ABC$ образует со сторонами $AC$ и $BC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, $BC = a$. Найдите медиану $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Продлим медиану $CD$ за точку $D$ на ее длину до точки $E$ так, что $CD = DE$. Соединим точку $E$ с вершинами $A$ и $B$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ACBE$. Его диагонали $AB$ и $CE$ пересекаются в точке $D$. По условию, $CD$ — медиана, следовательно, точка $D$ является серединой стороны $AB$ ($AD = DB$). По построению, точка $D$ также является серединой отрезка $CE$ ($CD = DE$). Так как диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $ACBE$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. В частности, $AC \parallel BE$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $CE$. Внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей равны: $\angle CEB = \angle ACE$. Поскольку луч $CE$ является продолжением отрезка $CD$, угол $\angle ACE$ совпадает с углом $\angle ACD$, который по условию равен $\alpha$. Таким образом, $\angle CEB = \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCE$. Обозначим искомую длину медианы $CD$ через $m$. Тогда сторона $CE = CD + DE = m + m = 2m$. Сторона $BC$ по условию равна $a$. Угол $\angle BCE$ совпадает с углом $\angle BCD$, который по условию равен $\beta$. Третий угол треугольника $\angle CBE$ равен $180^\circ - (\angle BCE + \angle CEB) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим к треугольнику $BCE$ теорему синусов, согласно которой отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{BC}{\sin(\angle CEB)} = \frac{CE}{\sin(\angle CBE)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, преобразуем уравнение:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого уравнения выразим искомую длину медианы $m$:

$2m \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\alpha + \beta)$

$m = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$

Таким образом, длина медианы $CD$ найдена.

Ответ: $CD = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$.