Номер 103, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

103. Основание равнобедренного треугольника равно $a$, противолежащий ему угол равен $\alpha$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$, а угол при вершине $B$, противолежащий основанию, равен $\angle ABC = \alpha$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $ $ 2 \cdot \angle BAC + \alpha = 180^\circ $ $ \angle BAC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $ Следовательно, углы при основании равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle BAC$ пополам: $ \angle CAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4} $

Рассмотрим треугольник $ADC$. Нам известны сторона $AC = a$ и два прилежащих к ней угла: $ \angle ACD = \angle BCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $ $ \angle CAD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4} $

Найдем третий угол треугольника $ADC$, $\angle ADC$: $ \angle ADC = 180^\circ - (\angle ACD + \angle CAD) $ $ \angle ADC = 180^\circ - \left( \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) \right) $ $ \angle ADC = 180^\circ - \left( 135^\circ - \frac{3\alpha}{4} \right) $ $ \angle ADC = 45^\circ + \frac{3\alpha}{4} $

Теперь, чтобы найти длину биссектрисы $AD$, применим теорему синусов к треугольнику $ADC$: $ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $ Подставим известные значения: $ \frac{AD}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $

Выразим $AD$: $ AD = a \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $ Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем окончательное выражение для длины биссектрисы: $ AD = a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} $

Ответ: $a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}$