Номер 97, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

97. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ угла $\angle A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Эта биссектриса делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD$ и $DC$. Углы, прилежащие к стороне $BC$, — это $\angle B$ и $\angle C$. Требуется доказать, что длины отрезков $BD$ и $DC$ обратно пропорциональны синусам углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно, то есть выполняется соотношение: $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin C}{\sin B}$.

По определению биссектрисы, угол $\angle A$ делится на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Биссектриса $AD$ разбивает исходный треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ADC$.

Применим теорему синусов для треугольника $\triangle ABD$:
$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle B)}$
Подставив $\angle BAD = \alpha$, получим:
$\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin B}$
Отсюда можно выразить длину отрезка $BD$:
$BD = \frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin B}$ (1)

Аналогично применим теорему синусов для треугольника $\triangle ADC$:
$\frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle C)}$
Подставив $\angle CAD = \alpha$, получим:
$\frac{DC}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin C}$
Отсюда выразим длину отрезка $DC$:
$DC = \frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin C}$ (2)

Теперь найдем отношение длин отрезков $BD$ и $DC$, разделив равенство (1) на равенство (2):
$\frac{BD}{DC} = \frac{\frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin B}}{\frac{AD \cdot \sin \alpha}{\sin C}}$

В полученном выражении можно сократить общий множитель $AD \cdot \sin \alpha$:
$\frac{BD}{DC} = \frac{1/\sin B}{1/\sin C} = \frac{\sin C}{\sin B}$

Полученное соотношение и доказывает, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно обратному отношению синусов прилежащих к этой стороне углов: $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin C}{\sin B}$.