Номер 91, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

91. На продолжении стороны $AB$ треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle ADC = 45^{\circ}$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 4 см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Согласно этой теореме, для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности.

1. Нахождение длины стороны AC.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, радиус описанной около него окружности ($R_{ABC}$) равен 4 см, а угол $\angle ABC = 60^\circ$. Применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R_{ABC}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = 2 \cdot 4$

Выразим длину стороны $AC$:

$AC = 8 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AC = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника ACD.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников. По условию, угол $\angle ADC = 45^\circ$. Обозначим искомый радиус описанной около треугольника $ACD$ окружности как $R_{ACD}$. Применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ADC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ACD}$

Выразим искомый радиус $R_{ACD}$:

$R_{ACD} = \frac{AC}{2\sin(\angle ADC)}$

Подставим ранее найденное значение $AC = 4\sqrt{3}$ см и известный угол:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sin(45^\circ)}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$R_{ACD} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.