Номер 87, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Теорема синусов. Глава 1. Решение треугольников - номер 87, страница 23.

Условие.

87. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2 \text{ см}$, $BC = 1 \text{ см}$, $\angle B = 135^\circ$;

2) $AC = \sqrt{2} \text{ см}$, $BC = \sqrt{3} \text{ см}$, $\angle B = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1) Для нахождения угла $A$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $

Выразим из этой формулы синус искомого угла $A$:

$ \sin(\angle A) = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{AC} $

Подставим известные значения из условия задачи: $AC = 2$ см, $BC = 1$ см, $\angle B = 135^\circ$.

$ \sin(\angle A) = \frac{1 \cdot \sin(135^\circ)}{2} $

Значение синуса $135^\circ$ можно найти через формулу приведения: $ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Тогда:

$ \sin(\angle A) = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Уравнение $ \sin(x) = a $, где $ 0 < a < 1 $, в интервале $ (0^\circ, 180^\circ) $ имеет два решения: $ x_1 = \arcsin(a) $ и $ x_2 = 180^\circ - \arcsin(a) $. В нашем случае возможны два значения для угла $A$:

$ \angle A_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ (острый угол)

$ \angle A_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ (тупой угол)

Чтобы определить, сколько решений имеет задача, нужно проверить, может ли существовать треугольник с такими углами. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух любых углов должна быть меньше $180^\circ$, т.е. $ \angle A + \angle B < 180^\circ $.

Поскольку $ \angle B = 135^\circ $, то $ \angle A < 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $.

Проверим оба возможных значения $ \angle A $:

1. Для $ \angle A_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Сравним $ \sin(\angle A_1) $ с $ \sin(45^\circ) $. Мы знаем, что $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \frac{\sqrt{2}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2} $ и функция синуса на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $ возрастает, то $ \angle A_1 < 45^\circ $. Это условие выполняется, следовательно, такое решение существует.

2. Для $ \angle A_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Это тупой угол, и он заведомо больше $90^\circ$. Условие $ \angle A < 45^\circ $ не выполняется. Следовательно, треугольника с таким углом $A$ и углом $B=135^\circ$ существовать не может.

Таким образом, задача в данном случае имеет только одно решение.

Ответ: $ \angle A = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Задача имеет одно решение.

2) Аналогично первому пункту, применим теорему синусов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \implies \sin(\angle A) = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{AC} $

Подставим известные значения: $AC = \sqrt{2}$ см, $BC = \sqrt{3}$ см, $\angle B = 45^\circ$.

$ \sin(\angle A) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ)}{\sqrt{2}} $

Так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \sin(\angle A) = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это табличное значение синуса. В интервале $ (0^\circ, 180^\circ) $ ему соответствуют два угла:

$ \angle A_1 = 60^\circ $

$ \angle A_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Проверим, сколько из этих решений являются допустимыми. Используем условие $ \angle A + \angle B < 180^\circ $, где $ \angle B = 45^\circ $.

1. Для $ \angle A_1 = 60^\circ $:

$ \angle A_1 + \angle B = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ $.

Поскольку $ 105^\circ < 180^\circ $, такое решение возможно. В этом случае третий угол $ \angle C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ $.

2. Для $ \angle A_2 = 120^\circ $:

$ \angle A_2 + \angle B = 120^\circ + 45^\circ = 165^\circ $.

Поскольку $ 165^\circ < 180^\circ $, такое решение также возможно. В этом случае третий угол $ \angle C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ $.

Оба случая приводят к возможному треугольнику, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \angle A = 60^\circ $ или $ \angle A = 120^\circ $. Задача имеет два решения.