Номер 80, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

80. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если $AC = \sqrt{6}$ см, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Для нахождения стороны AB треугольника ABC воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно.

Формула теоремы синусов для треугольника ABC выглядит следующим образом:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

В задаче даны сторона $AC = \sqrt{6}$ см, угол $\angle B = 120^\circ$ и угол $\angle C = 45^\circ$. Мы хотим найти сторону AB. Для этого используем ту часть равенства, которая связывает известные и искомую величины:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

Выразим из этого уравнения искомую сторону AB:

$AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B}$

Теперь подставим в формулу известные значения: $AC = \sqrt{6}$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle B = 120^\circ$.

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)}$

Найдём значения синусов для углов $45^\circ$ и $120^\circ$:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения обратно в формулу для AB:

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученное выражение. Можно сократить $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

Используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, получаем:

$AB = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, длина стороны AB равна 2 см.

Ответ: 2 см.