Номер 79, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

79. Найдите угол A треугольника ABC, изображённого на рисунке 18 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 18

A

B

C

$6\sqrt{2}$

$6$

$45^\circ$

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем треугольнике $ABC$ известны:

• сторона $AB$ (лежащая напротив угла $C$), равная $6\sqrt{2}$ см;
• сторона $BC$ (лежащая напротив угла $A$), равная $6$ см;
• угол $C$, равный $45^\circ$.

Применим теорему синусов для известных нам сторон и углов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{6}{\sin A} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

Выразим из этого уравнения $\sin A$:

$\sin A = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{6\sqrt{2}}$

Мы знаем, что значение $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\sin A = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь нам нужно найти угол $A$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Возможны два значения для угла в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$: $A = 30^\circ$ или $A = 150^\circ$.

Проверим, возможно ли существование треугольника со вторым значением угла $A = 150^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Если $\angle A = 150^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$, то их сумма будет:

$\angle A + \angle C = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ$

Это значение больше $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, угол $A$ не может быть равен $150^\circ$.

Таким образом, единственно возможным значением для угла А является $30^\circ$.

Ответ: 30°