Страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

79. Найдите угол A треугольника ABC, изображённого на рисунке 18 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 18

A

B

C

$6\sqrt{2}$

$6$

$45^\circ$

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем треугольнике $ABC$ известны:

• сторона $AB$ (лежащая напротив угла $C$), равная $6\sqrt{2}$ см;
• сторона $BC$ (лежащая напротив угла $A$), равная $6$ см;
• угол $C$, равный $45^\circ$.

Применим теорему синусов для известных нам сторон и углов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{6}{\sin A} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

Выразим из этого уравнения $\sin A$:

$\sin A = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{6\sqrt{2}}$

Мы знаем, что значение $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\sin A = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь нам нужно найти угол $A$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Возможны два значения для угла в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$: $A = 30^\circ$ или $A = 150^\circ$.

Проверим, возможно ли существование треугольника со вторым значением угла $A = 150^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Если $\angle A = 150^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$, то их сумма будет:

$\angle A + \angle C = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ$

Это значение больше $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, угол $A$ не может быть равен $150^\circ$.

Таким образом, единственно возможным значением для угла А является $30^\circ$.

Ответ: 30°

80. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если $AC = \sqrt{6}$ см, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Для нахождения стороны AB треугольника ABC воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно.

Формула теоремы синусов для треугольника ABC выглядит следующим образом:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

В задаче даны сторона $AC = \sqrt{6}$ см, угол $\angle B = 120^\circ$ и угол $\angle C = 45^\circ$. Мы хотим найти сторону AB. Для этого используем ту часть равенства, которая связывает известные и искомую величины:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

Выразим из этого уравнения искомую сторону AB:

$AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B}$

Теперь подставим в формулу известные значения: $AC = \sqrt{6}$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle B = 120^\circ$.

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)}$

Найдём значения синусов для углов $45^\circ$ и $120^\circ$:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения обратно в формулу для AB:

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученное выражение. Можно сократить $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

Используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, получаем:

$AB = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, длина стороны AB равна 2 см.

Ответ: 2 см.

81. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $BC = 10$ см, $\sin A = 0.2$.

Найдите синус угла $C$ треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов является величиной постоянной. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

Где $a, b, c$ – стороны, лежащие напротив углов $A, B, C$ соответственно. В нашем случае $a = BC$, $c = AB$.

Мы можем записать соотношение для известных нам сторон и углов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим данные из условия задачи:
$AB = 12$ см
$BC = 10$ см
$\sin A = 0,2$

Получаем следующее уравнение:

$ \frac{10}{0,2} = \frac{12}{\sin C} $

Теперь выразим из этого уравнения $\sin C$:

$ \sin C = \frac{12 \cdot 0,2}{10} $

Выполним вычисления:

$ \sin C = \frac{2,4}{10} = 0,24 $

Ответ: 0,24.

Найдите синус угла с треугольника.

В треугольнике $DEF$ известно, что $DE = 16$ см, $\angle F = 50^{\circ}$, $\angle D = 38^{\circ}$.

Найдите сторону $EF$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Но сначала найдем третий угол треугольника, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$.

1. Нахождение угла $\angle E$
Сумма углов в треугольнике $DEF$ равна $180^\circ$:$
$\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$
Подставим известные значения углов $\angle D = 38^\circ$ и $\angle F = 50^\circ$:$
$38^\circ + \angle E + 50^\circ = 180^\circ$
$88^\circ + \angle E = 180^\circ$
$\angle E = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$

2. Применение теоремы синусов
Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{DE}{\sin \angle F} = \frac{EF}{\sin \angle D} = \frac{DF}{\sin \angle E}$

Чтобы найти сторону $EF$, мы можем использовать первую часть равенства, так как нам известна длина стороны $DE$ и величины противолежащих им углов $\angle D$ и $\angle F$:
$\frac{EF}{\sin \angle D} = \frac{DE}{\sin \angle F}$

3. Вычисление длины стороны $EF$
Выразим $EF$ из пропорции:
$EF = \frac{DE \cdot \sin \angle D}{\sin \angle F}$
Подставим известные значения: $DE = 16$ см, $\angle D = 38^\circ$, $\angle F = 50^\circ$.
$EF = \frac{16 \cdot \sin 38^\circ}{\sin 50^\circ}$

Для получения численного значения используем калькулятор:
$\sin 38^\circ \approx 0.6157$
$\sin 50^\circ \approx 0.7660$
$EF \approx \frac{16 \cdot 0.6157}{0.7660} \approx \frac{9.8512}{0.7660} \approx 12.86$ см.

Ответ: $EF = \frac{16 \sin 38^\circ}{\sin 50^\circ}$ см $\approx 12.86$ см.

83. В треугольнике $MKP$ известно, что $KP = 8$ см, $\angle K = 106^\circ$, $\angle P = 32^\circ$.

Найдите сторону $MP$.

Для нахождения стороны $MP$ в треугольнике $MKP$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Формула теоремы синусов для треугольника $MKP$ выглядит так:

$\frac{MP}{\sin(\angle K)} = \frac{KP}{\sin(\angle M)} = \frac{MK}{\sin(\angle P)}$

В задаче даны сторона $KP = 8$ см и два угла: $\angle K = 106^\circ$ и $\angle P = 32^\circ$. Чтобы использовать теорему синусов для нахождения $MP$, нам нужно знать угол $\angle M$, который лежит напротив известной стороны $KP$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle M$:

$\angle M = 180^\circ - (\angle K + \angle P) = 180^\circ - (106^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$

Теперь у нас есть все необходимые данные для применения теоремы синусов. Возьмем из нее соотношение:

$\frac{MP}{\sin(\angle K)} = \frac{KP}{\sin(\angle M)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $MP$:

$MP = \frac{KP \cdot \sin(\angle K)}{\sin(\angle M)}$

Подставим известные значения:

$MP = \frac{8 \cdot \sin(106^\circ)}{\sin(42^\circ)}$

С помощью калькулятора найдем значения синусов и вычислим длину стороны $MP$ (округлим до сотых):

$MP \approx \frac{8 \cdot 0.9613}{0.6691} \approx \frac{7.6904}{0.6691} \approx 11.49$ см.

Ответ: $MP \approx 11.49$ см.

84. Для нахождения расстояния от точки A до колокольни B, расположенной на другом берегу речки (рис. 19), с помощью вех, рулетки и прибора для измерения углов (теодолита) отметили на местности точку C такую, что $ \angle BAC = 42^\circ $, $ \angle ACB = 64^\circ $, $ AC = 20 $ м. Как найти расстояние от A до B? Найдите это расстояние.

Рис. 19

Как найти расстояние от A до B?

Для нахождения расстояния от точки A до точки B (длины стороны AB треугольника ABC) можно применить теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Порядок действий следующий:

1. Найти величину третьего угла треугольника, $\angle ABC$, используя тот факт, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB $.
2. Составить пропорцию на основе теоремы синусов, связывающую искомую сторону AB, известную сторону AC и противолежащие им углы $\angle ACB$ и $\angle ABC$: $ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $.
3. Выразить из пропорции искомую сторону AB: $ AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(\angle ABC)} $, а затем подставить известные значения и вычислить результат.

Ответ: Расстояние от A до B можно найти, вычислив третий угол треугольника ABC и применив теорему синусов.

Найдите это расстояние.

Дано: треугольник ABC, в котором сторона $AC = 20$ м, угол $\angle BAC = 42^\circ$ и угол $\angle ACB = 64^\circ$.

1. Находим угол $\angle ABC$:
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно: $$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (42^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ $$

2. Применяем теорему синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{AB}{\sin(64^\circ)} = \frac{20}{\sin(74^\circ)} $$

3. Выражаем и вычисляем AB: $$ AB = \frac{20 \cdot \sin(64^\circ)}{\sin(74^\circ)} $$ Используя калькулятор для нахождения значений синусов ($\sin(64^\circ) \approx 0,8988$ и $\sin(74^\circ) \approx 0,9613$): $$ AB \approx \frac{20 \cdot 0,8988}{0,9613} \approx \frac{17,976}{0,9613} \approx 18,7 \text{ м} $$

Ответ: Расстояние от A до B примерно равно 18,7 м.

85. В треугольнике ABC известно, что $BC = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $AB$ и $AC$.

Для нахождения сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. В треугольнике известны сторона $BC = a$ и два угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения и, используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получим:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{AB}{\sin \gamma}$

Из этого соотношения выразим искомые стороны $AB$ и $AC$.

Сторона AB
Рассмотрим пропорцию $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma}$. Выразим из нее сторону $AB$:
$AB = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha}$.
Ответ: $AB = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Сторона AC
Рассмотрим пропорцию $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)}$. Выразим из нее сторону $AC$:
$AC = \frac{a \cdot \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \alpha}$.
Ответ: $AC = \frac{a \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \alpha}$.

86. Диагональ параллелограмма равна $d$ и образует с его сторонами углы $\alpha$ и $\beta$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$, длина которой по условию равна $d$. Эта диагональ образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. То есть, $\angle BAC = \alpha$ и $\angle DAC = \beta$. Нам нужно найти длины сторон параллелограмма, обозначим их как $a = AB$ и $b = AD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Найдем стороны $AB$ и $BC$ из треугольника $\triangle ABC$.

В этом треугольнике мы знаем:

• Сторону $AC = d$.
• Угол $\angle BAC = \alpha$.

Найдем остальные углы треугольника $\triangle ABC$:

• Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ равны. Таким образом, $\angle BCA = \angle DAC = \beta$.
• Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Значит, для $\triangle ABC$ можем найти угол $\angle ABC$:
  $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь, когда мы знаем все углы треугольника $\triangle ABC$ и одну его сторону $AC = d$, мы можем найти две другие стороны ($AB$ и $BC$) с помощью теоремы синусов.

Теорема синусов для треугольника $\triangle ABC$ гласит:

$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого соотношения выразим стороны $a$ и $b$:

1. Найдем сторону $a$ (которая равна $AB$):
$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} \implies a = \frac{d \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

2. Найдем сторону $b$ (которая равна $BC$):
$\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} \implies b = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Таким образом, мы нашли длины смежных сторон параллелограмма.

Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$ и $\frac{d \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

87. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2 \text{ см}$, $BC = 1 \text{ см}$, $\angle B = 135^\circ$;

2) $AC = \sqrt{2} \text{ см}$, $BC = \sqrt{3} \text{ см}$, $\angle B = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте.

1) Для нахождения угла $A$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $

Выразим из этой формулы синус искомого угла $A$:

$ \sin(\angle A) = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{AC} $

Подставим известные значения из условия задачи: $AC = 2$ см, $BC = 1$ см, $\angle B = 135^\circ$.

$ \sin(\angle A) = \frac{1 \cdot \sin(135^\circ)}{2} $

Значение синуса $135^\circ$ можно найти через формулу приведения: $ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Тогда:

$ \sin(\angle A) = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Уравнение $ \sin(x) = a $, где $ 0 < a < 1 $, в интервале $ (0^\circ, 180^\circ) $ имеет два решения: $ x_1 = \arcsin(a) $ и $ x_2 = 180^\circ - \arcsin(a) $. В нашем случае возможны два значения для угла $A$:

$ \angle A_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ (острый угол)

$ \angle A_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ (тупой угол)

Чтобы определить, сколько решений имеет задача, нужно проверить, может ли существовать треугольник с такими углами. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух любых углов должна быть меньше $180^\circ$, т.е. $ \angle A + \angle B < 180^\circ $.

Поскольку $ \angle B = 135^\circ $, то $ \angle A < 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $.

Проверим оба возможных значения $ \angle A $:

1. Для $ \angle A_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Сравним $ \sin(\angle A_1) $ с $ \sin(45^\circ) $. Мы знаем, что $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \frac{\sqrt{2}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2} $ и функция синуса на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $ возрастает, то $ \angle A_1 < 45^\circ $. Это условие выполняется, следовательно, такое решение существует.

2. Для $ \angle A_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Это тупой угол, и он заведомо больше $90^\circ$. Условие $ \angle A < 45^\circ $ не выполняется. Следовательно, треугольника с таким углом $A$ и углом $B=135^\circ$ существовать не может.

Таким образом, задача в данном случае имеет только одно решение.

Ответ: $ \angle A = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Задача имеет одно решение.

2) Аналогично первому пункту, применим теорему синусов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \implies \sin(\angle A) = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{AC} $

Подставим известные значения: $AC = \sqrt{2}$ см, $BC = \sqrt{3}$ см, $\angle B = 45^\circ$.

$ \sin(\angle A) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ)}{\sqrt{2}} $

Так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \sin(\angle A) = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это табличное значение синуса. В интервале $ (0^\circ, 180^\circ) $ ему соответствуют два угла:

$ \angle A_1 = 60^\circ $

$ \angle A_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Проверим, сколько из этих решений являются допустимыми. Используем условие $ \angle A + \angle B < 180^\circ $, где $ \angle B = 45^\circ $.

1. Для $ \angle A_1 = 60^\circ $:

$ \angle A_1 + \angle B = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ $.

Поскольку $ 105^\circ < 180^\circ $, такое решение возможно. В этом случае третий угол $ \angle C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ $.

2. Для $ \angle A_2 = 120^\circ $:

$ \angle A_2 + \angle B = 120^\circ + 45^\circ = 165^\circ $.

Поскольку $ 165^\circ < 180^\circ $, такое решение также возможно. В этом случае третий угол $ \angle C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ $.

Оба случая приводят к возможному треугольнику, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \angle A = 60^\circ $ или $ \angle A = 120^\circ $. Задача имеет два решения.