Страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

44. Точка $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $BC = a$, $AC = b$, $\angle AOB = 120^\circ$. Найдите сторону $AB$.

По условию, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки AO и BO являются биссектрисами углов $ \angle A $ и $ \angle B $ треугольника ABC.

Это означает, что $ \angle OAB = \frac{1}{2}\angle A $ и $ \angle OBA = \frac{1}{2}\angle B $.

Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника AOB имеем:

$ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} $

Подставим известные значения:

$ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 120^{\circ} = 180^{\circ} $

Выразим сумму половин углов A и B:

$ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - 120^{\circ} $

$ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 60^{\circ} $

Отсюда найдем сумму углов A и B:

$ \angle A + \angle B = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} $

Теперь рассмотрим основной треугольник ABC. Сумма его углов также равна 180°:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} $

Подставим найденное значение суммы $ \angle A + \angle B $:

$ 120^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $

Теперь мы знаем две стороны треугольника ABC ($ BC = a $, $ AC = b $) и угол между ними ($ \angle C = 60^{\circ} $). Для нахождения третьей стороны AB (обозначим ее как c) воспользуемся теоремой косинусов:

$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C) $

Подставляем наши данные:

$ AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^{\circ}) $

Зная, что $ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} $

$ AB^2 = a^2 + b^2 - ab $

Следовательно, длина стороны AB равна:

$ AB = \sqrt{a^2 + b^2 - ab} $

Ответ: $ \sqrt{a^2 + b^2 - ab} $

45. Две стороны треугольника, угол между которыми равен $60^\circ$, относятся как $5 : 8$, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть неизвестные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а известная третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$.

По условию задачи имеем: отношение сторон $a : b = 5 : 8$, угол между ними $\gamma = 60^{\circ}$, и третья сторона $c = 21$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины неизвестных сторон можно выразить как $a = 5x$ и $b = 8x$.

Теорема косинусов для стороны $c$ выглядит следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения в формулу:

$21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (8x) \cdot \cos(60^{\circ})$

Мы знаем, что значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$441 = 25x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 40x^2 \cdot \frac{1}{2}$

Упростим полученное уравнение:

$441 = 25x^2 + 64x^2 - 40x^2$

$441 = (25 + 64 - 40)x^2$

$441 = 49x^2$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{441}{49}$

$x^2 = 9$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем положительный квадратный корень:

$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника:

Первая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Вторая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Таким образом, неизвестные стороны треугольника равны 15 см и 24 см.

Ответ: 15 см и 24 см.

46. Две стороны треугольника относятся как $1 : 2\sqrt{3}$ и образуют угол, равный $30^{\circ}$. Третья сторона треугольника равна $2\sqrt{7}$ см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть неизвестные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона $c = 2\sqrt{7}$ см. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 30^\circ$.

Согласно условию, стороны $a$ и $b$ относятся как $1 : 2\sqrt{3}$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать длины сторон как:

$a = 1 \cdot x = x$

$b = 2\sqrt{3} \cdot x = 2\sqrt{3}x$

Для нахождения неизвестных сторон воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу:

$(2\sqrt{7})^2 = x^2 + (2\sqrt{3}x)^2 - 2 \cdot x \cdot (2\sqrt{3}x) \cdot \cos(30^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$4 \cdot 7 = x^2 + 4 \cdot 3 \cdot x^2 - 4\sqrt{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$28 = x^2 + 12x^2 - \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - \frac{4 \cdot 3}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - \frac{12}{2}x^2$

$28 = 13x^2 - 6x^2$

$28 = 7x^2$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{28}{7}$

$x^2 = 4$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительное значение корня:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины неизвестных сторон треугольника:

Первая сторона: $a = x = 2$ см.

Вторая сторона: $b = 2\sqrt{3}x = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны 2 см и $4\sqrt{3}$ см.

47. Сумма двух сторон треугольника, образующих угол $120^\circ$, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Обозначим неизвестные стороны треугольника, образующие угол $120^\circ$, как $a$ и $b$. Третья сторона пусть будет $c$.

По условию задачи мы знаем, что сумма сторон $a+b = 8$ см, угол между ними $\gamma = 120^\circ$, а третья сторона $c = 7$ см.

Для нахождения неизвестных сторон воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в эту формулу. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ (или $-\frac{1}{2}$), получаем:

$7^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = a^2 + b^2 + ab$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a^2 + b^2 + ab = 49 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 8 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^2 + (8 - a)^2 + a(8 - a) = 49$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$a^2 + (64 - 16a + a^2) + 8a - a^2 = 49$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 8a + 64 - 49 = 0$

$a^2 - 8a + 15 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна 8, а их произведение — 15. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 5.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $b$, используя соотношение $b = 8 - a$:

• Если $a = 3$ см, то $b = 8 - 3 = 5$ см.
• Если $a = 5$ см, то $b = 8 - 5 = 3$ см.

В обоих случаях мы получаем, что длины искомых сторон треугольника равны 3 см и 5 см.

Ответ: 3 см и 5 см.

48. Две стороны треугольника, угол между которыми равен $120^\circ$, относятся как $5 : 3$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 30 см.

Пусть две стороны треугольника, образующие угол $120^\circ$, равны $a$ и $b$. Третья сторона равна $c$. Согласно условию, стороны $a$ и $b$ относятся как $5:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда:
$a = 5x$
$b = 3x$

Найдем третью сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим значения в формулу:
$c^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2(5x)(3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$c^2 = 25x^2 + 9x^2 + 30x^2 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 34x^2 + 15x^2$
$c^2 = 49x^2$
$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (так как длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c$
По условию периметр равен 30 см. Составим уравнение:
$5x + 3x + 7x = 30$
$15x = 30$
$x = \frac{30}{15}$
$x = 2$

Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив значение $x$:
$a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см
$b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см
$c = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 6 см и 14 см.

49. Две стороны треугольника равны 16 см и 14 см, а угол, противолежащий меньшей из известных сторон, равен $60^\circ$. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 16$ см и $b = 14$ см, и угол $\beta = 60^\circ$, который лежит напротив меньшей из этих сторон, то есть напротив стороны $b$. Нам нужно найти длину третьей стороны, которую обозначим как $c$.

Для решения этой задачи применим теорему косинусов. Запишем теорему для стороны $b$, так как противолежащий ей угол $\beta$ известен: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $$14^2 = 16^2 + c^2 - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot \cos(60^\circ)$$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, а также вычислив квадраты чисел ($14^2 = 196$ и $16^2 = 256$), упростим уравнение: $$196 = 256 + c^2 - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$$ $$196 = 256 + c^2 - 16c$$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, перенеся все члены в левую часть: $$c^2 - 16c + 256 - 196 = 0$$ $$c^2 - 16c + 60 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $$c_1 = \frac{-(-16) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$c_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Мы получили два положительных значения для длины третьей стороны: 6 см и 10 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба решения неравенству треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

1. Проверка для $c = 6$ см (стороны 6, 14, 16):
$6 + 14 > 16 \Rightarrow 20 > 16$ (Верно)
$6 + 16 > 14 \Rightarrow 22 > 14$ (Верно)
$14 + 16 > 6 \Rightarrow 30 > 6$ (Верно)
Следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

2. Проверка для $c = 10$ см (стороны 10, 14, 16):
$10 + 14 > 16 \Rightarrow 24 > 16$ (Верно)
$10 + 16 > 14 \Rightarrow 26 > 14$ (Верно)
$14 + 16 > 10 \Rightarrow 30 > 10$ (Верно)
Треугольник с такими сторонами также существует.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 6 см или 10 см.

50. Две стороны треугольника равны 15 см и 35 см, а угол, противолежащий большей из известных сторон, равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, две стороны известны, обозначим их как $a = 15$ см и $b = 35$ см. Угол, противолежащий большей из этих сторон (то есть стороне $b$), равен $120^\circ$. Обозначим этот угол как $\beta$. Таким образом, мы имеем: $a = 15$ см, $b = 35$ см, $\beta = 120^\circ$.

Для нахождения периметра треугольника $P = a + b + c$ необходимо найти длину третьей стороны $c$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов для стороны $b$ имеет вид: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$.

Подставим известные значения в формулу: $35^2 = 15^2 + c^2 - 2 \cdot 15 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$.

Зная, что $35^2 = 1225$, $15^2 = 225$ и $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим: $1225 = 225 + c^2 - 2 \cdot 15 \cdot c \cdot (-\frac{1}{2})$
$1225 = 225 + c^2 + 15c$.

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $c^2 + 15c + 225 - 1225 = 0$
$c^2 + 15c - 1000 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 225 + 4000 = 4225$.

Найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $c = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 \pm 65}{2}$.

Получаем два возможных значения для $c$: $c_1 = \frac{-15 + 65}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$c_2 = \frac{-15 - 65}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.

Поскольку длина стороны треугольника является положительной величиной, корень $c_2 = -40$ не подходит. Следовательно, длина третьей стороны равна $c = 25$ см.

Теперь можем найти периметр треугольника: $P = a + b + c = 15 + 35 + 25 = 75$ см.

Ответ: 75 см.

51. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 14$ см. Найдите отрезок $AD$, если $AB = 37$ см, $BC = 44$ см и $AC = 15$ см.

Для нахождения длины отрезка $AD$ можно использовать два способа: через теорему косинусов или через теорему Стюарта. Рассмотрим оба.

Способ 1: Использование теоремы косинусов

Этот метод состоит из двух шагов: сначала мы найдём косинус угла $C$ из треугольника $ABC$, а затем, используя это значение, найдём длину стороны $AD$ в треугольнике $ADC$.

1. Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ относительно угла $C$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
Выразим из этой формулы косинус угла $C$:
$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$
Подставим в формулу известные длины сторон: $AB = 37$ см, $BC = 44$ см и $AC = 15$ см.
$\cos(\angle C) = \frac{15^2 + 44^2 - 37^2}{2 \cdot 15 \cdot 44} = \frac{225 + 1936 - 1369}{1320} = \frac{2161 - 1369}{1320} = \frac{792}{1320}$
Сократим полученную дробь:
$\cos(\angle C) = \frac{792}{1320} = \frac{3}{5}$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AC = 15$ см, $CD = 14$ см) и косинус угла между ними ($\cos(\angle C) = \frac{3}{5}$). Снова применим теорему косинусов, на этот раз чтобы найти длину $AD$:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$
Подставляем значения:
$AD^2 = 15^2 + 14^2 - 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}$
$AD^2 = 225 + 196 - 2 \cdot 3 \cdot 14 \cdot 3$
$AD^2 = 421 - 252$
$AD^2 = 169$
Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $AD$:
$AD = \sqrt{169} = 13$ см.

Способ 2: Использование теоремы Стюарта

Теорема Стюарта связывает длины сторон треугольника с длиной отрезка (чевианы), соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне. Формула теоремы для треугольника $ABC$ и чевианы $AD$ выглядит так:
$AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot CD = BC \cdot (AD^2 + BD \cdot CD)$

Нам известны длины сторон $AC = 15$, $AB = 37$, $BC = 44$ и отрезка $CD = 14$. Сначала найдём длину отрезка $BD$:$
$BD = BC - CD = 44 - 14 = 30$ см.

Теперь подставим все значения в формулу теоремы Стюарта, где $AD$ — искомая длина:
$15^2 \cdot 30 + 37^2 \cdot 14 = 44 \cdot (AD^2 + 30 \cdot 14)$
$225 \cdot 30 + 1369 \cdot 14 = 44 \cdot (AD^2 + 420)$
$6750 + 19166 = 44 \cdot AD^2 + 18480$
$25916 = 44 \cdot AD^2 + 18480$
Выразим $AD^2$:
$44 \cdot AD^2 = 25916 - 18480$
$44 \cdot AD^2 = 7436$
$AD^2 = \frac{7436}{44} = 169$
Извлекаем квадратный корень:
$AD = \sqrt{169} = 13$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 13 см.

52. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ – точку $M$. Найдите отрезок $MK$, если $AB = 15$ см, $BC = 7$ см, $AC = 13$ см, $AK = 8$ см, $MC = 3$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые элементы для треугольника $KBM$, в котором сторона $MK$ является искомой.

1. Найдем длину отрезка $BK$. Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина $BK$ равна разности длин $AB$ и $AK$.
$BK = AB - AK = 15 - 8 = 7$ см.

2. Найдем длину отрезка $BM$. Точка $M$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, поэтому длина $BM$ равна сумме длин $BC$ и $MC$.
$BM = BC + MC = 7 + 3 = 10$ см.

3. Теперь нам нужно найти угол $\angle KBM$, который совпадает с углом $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Найдем косинус этого угла, используя теорему косинусов для треугольника $ABC$, так как нам известны длины всех его сторон ($AB = 15$ см, $BC = 7$ см, $AC = 13$ см).
По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$.
Выразим отсюда $\cos(\angle ABC)$:
$\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$
Подставим известные значения:
$\cos(\angle ABC) = \frac{15^2 + 7^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 7} = \frac{225 + 49 - 169}{210} = \frac{274 - 169}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$.

4. Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику $KBM$, чтобы найти длину стороны $MK$. Мы знаем, что $KB = 7$ см, $BM = 10$ см и $\cos(\angle KBM) = \cos(\angle ABC) = \frac{1}{2}$.
$MK^2 = KB^2 + BM^2 - 2 \cdot KB \cdot BM \cdot \cos(\angle KBM)$
Подставим значения:
$MK^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$
$MK^2 = 49 + 100 - 70$
$MK^2 = 149 - 70$
$MK^2 = 79$
$MK = \sqrt{79}$ см.

Ответ: $\sqrt{79}$ см.

53. Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет $60^\circ$. Докажите, что данный треугольник является прямоугольным.

Пусть в треугольнике даны две стороны и угол между ними. Обозначим одну сторону как $a$, а другую — как $b$. По условию, одна из сторон в 2 раза больше другой, пусть $b = 2a$. Угол $\gamma$ между этими сторонами составляет $60°$.

Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, мы можем найти длину третьей стороны $c$ и проверить, выполняется ли для сторон этого треугольника теорема Пифагора.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения квадрата третьей стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2a) \cdot \cos(60°)$

Зная, что косинус 60 градусов равен $\frac{1}{2}$, получим:

$c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 5a^2 - 2a^2$

$c^2 = 3a^2$

Теперь у нас есть квадраты длин всех трех сторон треугольника: $a^2$, $b^2 = (2a)^2 = 4a^2$ и $c^2 = 3a^2$.

Применим обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным. Самая длинная сторона в нашем случае — это сторона $b$, так как $b^2 = 4a^2$ является наибольшим значением.

Проверим, выполняется ли равенство $b^2 = a^2 + c^2$:

$a^2 + c^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

Мы видим, что $b^2 = 4a^2$ и $a^2 + c^2 = 4a^2$. Следовательно, равенство $b^2 = a^2 + c^2$ выполняется.

Так как для сторон треугольника выполняется теорема Пифагора, мы доказали, что данный треугольник является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив наибольшей стороны $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник является прямоугольным, поскольку для его сторон выполняется теорема Пифагора.

54. Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен $120^\circ$.

Пусть в треугольнике стороны равны $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

По условию задачи, квадрат стороны $c$ равен неполному квадрату суммы двух других сторон, $a$ и $b$. Неполный квадрат суммы $a$ и $b$ — это выражение $a^2 + ab + b^2$. Таким образом, условие задачи можно записать в виде следующего равенства:

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$

Применим к этому треугольнику теорему косинусов, которая связывает стороны и угол $\gamma$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Так как левые части обоих уравнений равны ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 + ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$ab = -2ab \cos(\gamma)$

Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными величинами, значит, их произведение $ab \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ab$:

$1 = -2 \cos(\gamma)$

Отсюда выразим $\cos(\gamma)$:

$\cos(\gamma) = -\frac{1}{2}$

Угол $\gamma$ является внутренним углом треугольника, поэтому он находится в диапазоне $0^\circ < \gamma < 180^\circ$. Единственным углом в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, является угол $120^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что противолежащий этой стороне угол равен $120^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.

55. Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату разности двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен $60^\circ$.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

В условии задачи говорится, что квадрат одной стороны треугольника ($c^2$) равен неполному квадрату разности двух других сторон ($a$ и $b$). Выражение «неполный квадрат разности» для величин $a$ и $b$ соответствует формуле $a^2 - ab + b^2$. Таким образом, мы имеем следующее равенство:

$c^2 = a^2 + b^2 - ab$

С другой стороны, согласно теореме косинусов для того же треугольника, квадрат стороны $c$ выражается через стороны $a$, $b$ и косинус противолежащего угла $\gamma$ следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Приравнивая два выражения для $c^2$, получаем:

$a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Упростим уравнение, вычтя $a^2 + b^2$ из обеих частей:

$-ab = -2ab \cos(\gamma)$

Так как $a$ и $b$ — длины сторон треугольника, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-ab$:

$1 = 2 \cos(\gamma)$

Из этого следует, что:

$\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$

Угол $\gamma$ в треугольнике должен находиться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственное значение угла в этом диапазоне, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$.

$\gamma = 60^\circ$

Это доказывает, что угол, противолежащий стороне, о которой говорится в условии, равен $60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Угол, противолежащий стороне, квадрат которой равен неполному квадрату разности двух других сторон, действительно равен $60^\circ$.

56. Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найдите вторую диагональ параллелограмма.

Для решения этой задачи используется свойство параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Формула выглядит следующим образом:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

где $a$ и $b$ — это длины смежных сторон параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.

В условии даны следующие значения:

Сторона $a = 7$ см.

Сторона $b = 11$ см.

Одна из диагоналей $d_1 = 12$ см.

Требуется найти вторую диагональ $d_2$.

Подставим известные значения в формулу:

$12^2 + d_2^2 = 2(7^2 + 11^2)$

Произведем вычисления. Сначала возведем в квадрат известные длины:

$144 + d_2^2 = 2(49 + 121)$

Сложим значения в скобках:

$144 + d_2^2 = 2(170)$

Теперь умножим сумму на 2:

$144 + d_2^2 = 340$

Чтобы найти $d_2^2$, вычтем 144 из 340:

$d_2^2 = 340 - 144$

$d_2^2 = 196$

Наконец, найдем длину второй диагонали $d_2$, извлекая квадратный корень из 196:

$d_2 = \sqrt{196}$

$d_2 = 14$

Ответ: вторая диагональ параллелограмма равна 14 см.

57. Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см, а одна из сторон – 9 см. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали – $d_1$ и $d_2$.

Из условия задачи имеем:

• длина первой диагонали $d_1 = 13$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 11$ см;
• длина одной из сторон, пусть $a = 9$ см.

Для нахождения периметра параллелограмма $P = 2(a + b)$ нужно найти длину второй стороны $b$.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.

Математически это свойство выражается формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$13^2 + 11^2 = 2(9^2 + b^2)$

Произведем вычисления:

$169 + 121 = 2(81 + b^2)$

$290 = 2(81 + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$145 = 81 + b^2$

Выразим $b^2$:

$b^2 = 145 - 81$

$b^2 = 64$

Найдем длину стороны $b$:

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная обе стороны параллелограмма ($a = 9$ см и $b = 8$ см), можем вычислить его периметр:

$P = 2(a + b) = 2(9 + 8) = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Ответ: 34 см.

58. Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см, а одна из сторон на 2 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает длины его сторон и диагоналей. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали — $d_1$ и $d_2$.

Формула имеет вид:
$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам дано:
$d_1 = 8$ см
$d_2 = 14$ см
Одна из сторон на 2 см больше другой. Пусть $a = b + 2$.

Подставим известные значения в формулу:

$8^2 + 14^2 = 2((b+2)^2 + b^2)$

Выполним вычисления:

$64 + 196 = 2(b^2 + 4b + 4 + b^2)$
$260 = 2(2b^2 + 4b + 4)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$130 = 2b^2 + 4b + 4$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2b^2 + 4b + 4 - 130 = 0$
$2b^2 + 4b - 126 = 0$

Снова разделим обе части на 2 для упрощения:

$b^2 + 2b - 63 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -63, а их сумма равна -2. Подбираем числа: 7 и -9.

$b_1 = 7$
$b_2 = -9$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $b_2 = -9$ не подходит. Следовательно, одна сторона параллелограмма равна 7 см.

$b = 7$ см

Теперь найдём вторую сторону $a$:

$a = b + 2 = 7 + 2 = 9$ см

Таким образом, стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см.

Ответ: 7 см и 9 см.