Номер 45, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

45. Две стороны треугольника, угол между которыми равен $60^\circ$, относятся как $5 : 8$, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть неизвестные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а известная третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$.

По условию задачи имеем: отношение сторон $a : b = 5 : 8$, угол между ними $\gamma = 60^{\circ}$, и третья сторона $c = 21$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины неизвестных сторон можно выразить как $a = 5x$ и $b = 8x$.

Теорема косинусов для стороны $c$ выглядит следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения и выражения в формулу:

$21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (8x) \cdot \cos(60^{\circ})$

Мы знаем, что значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$441 = 25x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 40x^2 \cdot \frac{1}{2}$

Упростим полученное уравнение:

$441 = 25x^2 + 64x^2 - 40x^2$

$441 = (25 + 64 - 40)x^2$

$441 = 49x^2$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{441}{49}$

$x^2 = 9$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем положительный квадратный корень:

$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника:

Первая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Вторая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Таким образом, неизвестные стороны треугольника равны 15 см и 24 см.

Ответ: 15 см и 24 см.