Номер 41, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

41. На продолжении гипотенузы $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $D$ так, что $BD = BC$. Найдите отрезок $CD$, если катет треугольника $ABC$ равен $a$.

Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC = a$. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны по $45^\circ$, следовательно, $\angle ABC = \angle BAC = 45^\circ$.

Точка $D$ лежит на продолжении гипотенузы $AB$ за точку $B$. Это означает, что угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти величину угла $\angle CBD$:$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

По условию задачи, длина отрезка $BD$ равна длине катета $BC$, то есть $BD = BC = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($BC=a$ и $BD=a$) и угол между ними ($\angle CBD = 135^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, мы можем применить теорему косинусов.

Согласно теореме косинусов, для треугольника $BCD$ справедливо равенство:$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения в формулу:$CD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$$CD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(135^\circ)$

Вычислим значение косинуса $135^\circ$. Используя формулу приведения, получаем:$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $CD^2$:$CD^2 = 2a^2 - 2a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$CD^2 = 2a^2 + \frac{2a^2\sqrt{2}}{2}$$CD^2 = 2a^2 + a^2\sqrt{2}$$CD^2 = a^2(2 + \sqrt{2})$

Чтобы найти длину отрезка $CD$, извлечем квадратный корень из полученного выражения:$CD = \sqrt{a^2(2 + \sqrt{2})}$$CD = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.