Номер 35, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

35. Стороны параллелограмма равны $2\sqrt{2}$ см и 5 см, а один из его углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 5$ см. Один из углов параллелограмма равен $\alpha = 45^{\circ}$. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$, то второй угол равен $\beta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Диагональ параллелограмма является третьей стороной треугольника, образованного двумя смежными сторонами параллелограмма.

Найдем первую диагональ, $d_1$, которая лежит напротив угла $\alpha = 45^{\circ}$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
Подставим известные значения:
$d_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \cos(45^{\circ})$
$d_1^2 = 8 + 25 - 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 33 - \frac{20 \cdot 2}{2}$
$d_1^2 = 33 - 20 = 13$
$d_1 = \sqrt{13}$ см.

Теперь найдем вторую диагональ, $d_2$, которая лежит напротив угла $\beta = 135^{\circ}$.
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Подставим известные значения. Учтем, что $\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$d_2^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \cos(135^{\circ})$
$d_2^2 = 8 + 25 - 20\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$d_2^2 = 33 + \frac{20 \cdot 2}{2}$
$d_2^2 = 33 + 20 = 53$
$d_2 = \sqrt{53}$ см.

Ответ: $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{53}$ см.