Номер 44, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

44. Точка $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $BC = a$, $AC = b$, $\angle AOB = 120^\circ$. Найдите сторону $AB$.

По условию, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки AO и BO являются биссектрисами углов $ \angle A $ и $ \angle B $ треугольника ABC.

Это означает, что $ \angle OAB = \frac{1}{2}\angle A $ и $ \angle OBA = \frac{1}{2}\angle B $.

Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника AOB имеем:

$ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} $

Подставим известные значения:

$ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 120^{\circ} = 180^{\circ} $

Выразим сумму половин углов A и B:

$ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - 120^{\circ} $

$ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 60^{\circ} $

Отсюда найдем сумму углов A и B:

$ \angle A + \angle B = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} $

Теперь рассмотрим основной треугольник ABC. Сумма его углов также равна 180°:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} $

Подставим найденное значение суммы $ \angle A + \angle B $:

$ 120^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $

Теперь мы знаем две стороны треугольника ABC ($ BC = a $, $ AC = b $) и угол между ними ($ \angle C = 60^{\circ} $). Для нахождения третьей стороны AB (обозначим ее как c) воспользуемся теоремой косинусов:

$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C) $

Подставляем наши данные:

$ AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^{\circ}) $

Зная, что $ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} $

$ AB^2 = a^2 + b^2 - ab $

Следовательно, длина стороны AB равна:

$ AB = \sqrt{a^2 + b^2 - ab} $

Ответ: $ \sqrt{a^2 + b^2 - ab} $