Номер 51, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

51. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 14$ см. Найдите отрезок $AD$, если $AB = 37$ см, $BC = 44$ см и $AC = 15$ см.

Для нахождения длины отрезка $AD$ можно использовать два способа: через теорему косинусов или через теорему Стюарта. Рассмотрим оба.

Способ 1: Использование теоремы косинусов

Этот метод состоит из двух шагов: сначала мы найдём косинус угла $C$ из треугольника $ABC$, а затем, используя это значение, найдём длину стороны $AD$ в треугольнике $ADC$.

1. Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ относительно угла $C$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
Выразим из этой формулы косинус угла $C$:
$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$
Подставим в формулу известные длины сторон: $AB = 37$ см, $BC = 44$ см и $AC = 15$ см.
$\cos(\angle C) = \frac{15^2 + 44^2 - 37^2}{2 \cdot 15 \cdot 44} = \frac{225 + 1936 - 1369}{1320} = \frac{2161 - 1369}{1320} = \frac{792}{1320}$
Сократим полученную дробь:
$\cos(\angle C) = \frac{792}{1320} = \frac{3}{5}$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AC = 15$ см, $CD = 14$ см) и косинус угла между ними ($\cos(\angle C) = \frac{3}{5}$). Снова применим теорему косинусов, на этот раз чтобы найти длину $AD$:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$
Подставляем значения:
$AD^2 = 15^2 + 14^2 - 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}$
$AD^2 = 225 + 196 - 2 \cdot 3 \cdot 14 \cdot 3$
$AD^2 = 421 - 252$
$AD^2 = 169$
Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $AD$:
$AD = \sqrt{169} = 13$ см.

Способ 2: Использование теоремы Стюарта

Теорема Стюарта связывает длины сторон треугольника с длиной отрезка (чевианы), соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне. Формула теоремы для треугольника $ABC$ и чевианы $AD$ выглядит так:
$AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot CD = BC \cdot (AD^2 + BD \cdot CD)$

Нам известны длины сторон $AC = 15$, $AB = 37$, $BC = 44$ и отрезка $CD = 14$. Сначала найдём длину отрезка $BD$:$
$BD = BC - CD = 44 - 14 = 30$ см.

Теперь подставим все значения в формулу теоремы Стюарта, где $AD$ — искомая длина:
$15^2 \cdot 30 + 37^2 \cdot 14 = 44 \cdot (AD^2 + 30 \cdot 14)$
$225 \cdot 30 + 1369 \cdot 14 = 44 \cdot (AD^2 + 420)$
$6750 + 19166 = 44 \cdot AD^2 + 18480$
$25916 = 44 \cdot AD^2 + 18480$
Выразим $AD^2$:
$44 \cdot AD^2 = 25916 - 18480$
$44 \cdot AD^2 = 7436$
$AD^2 = \frac{7436}{44} = 169$
Извлекаем квадратный корень:
$AD = \sqrt{169} = 13$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 13 см.