Номер 55, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

55. Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату разности двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен $60^\circ$.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

В условии задачи говорится, что квадрат одной стороны треугольника ($c^2$) равен неполному квадрату разности двух других сторон ($a$ и $b$). Выражение «неполный квадрат разности» для величин $a$ и $b$ соответствует формуле $a^2 - ab + b^2$. Таким образом, мы имеем следующее равенство:

$c^2 = a^2 + b^2 - ab$

С другой стороны, согласно теореме косинусов для того же треугольника, квадрат стороны $c$ выражается через стороны $a$, $b$ и косинус противолежащего угла $\gamma$ следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Приравнивая два выражения для $c^2$, получаем:

$a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Упростим уравнение, вычтя $a^2 + b^2$ из обеих частей:

$-ab = -2ab \cos(\gamma)$

Так как $a$ и $b$ — длины сторон треугольника, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-ab$:

$1 = 2 \cos(\gamma)$

Из этого следует, что:

$\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$

Угол $\gamma$ в треугольнике должен находиться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственное значение угла в этом диапазоне, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$.

$\gamma = 60^\circ$

Это доказывает, что угол, противолежащий стороне, о которой говорится в условии, равен $60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Угол, противолежащий стороне, квадрат которой равен неполному квадрату разности двух других сторон, действительно равен $60^\circ$.