Номер 61, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

61. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) известно, что $AB = \sqrt{15}$ см, $BC = 6$ см, $CD = 4$ см, $AD = 11$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: $AB = \sqrt{15}$ см, $BC = 6$ см, $CD = 4$ см, $AD = 11$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный стороне $AB$, так, чтобы точка $E$ лежала на основании $AD$.

В результате построения получаем четырехугольник $ABCE$. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $BC \parallel AE$. По построению $CE \parallel AB$. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

$CE = AB = \sqrt{15}$ см

$AE = BC = 6$ см

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Найдем длину его стороны $ED$:

$ED = AD - AE = 11 - 6 = 5$ см.

В треугольнике $CDE$ известны длины всех трех сторон: $CD = 4$ см, $CE = \sqrt{15}$ см, $ED = 5$ см. Угол $D$ трапеции является углом $CDE$ в этом треугольнике.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $CDE$, чтобы найти косинус угла $D$:

$CE^2 = CD^2 + ED^2 - 2 \cdot CD \cdot ED \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:

$(\sqrt{15})^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$15 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos(\angle D)$

$15 = 41 - 40 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь выразим из уравнения $\cos(\angle D)$:

$40 \cdot \cos(\angle D) = 41 - 15$

$40 \cdot \cos(\angle D) = 26$

$\cos(\angle D) = \frac{26}{40}$

Сократим полученную дробь:

$\cos(\angle D) = \frac{13}{20}$

Ответ: $\frac{13}{20}$.