Номер 66, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

66. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона – 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 5$ см, а боковые стороны $AB = BC = 20$ см. Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании, например, из вершины $A$. Обозначим эту биссектрису как $AD$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$.

Согласно свойству биссектрисы:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Подставим известные значения длин сторон:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{20}{5} = 4 $

Отсюда получаем, что $BD = 4 \cdot DC$.

Также мы знаем, что точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма длин отрезков $BD$ и $DC$ равна длине стороны $BC$:

$ BD + DC = BC = 20 $ см

Теперь составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} BD = 4 \cdot DC \\ BD + DC = 20 \end{cases} $

Подставим первое уравнение во второе:

$ 4 \cdot DC + DC = 20 $

$ 5 \cdot DC = 20 $

$ DC = \frac{20}{5} = 4 $ см

Тогда $BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Теперь, зная длины всех сторон и отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, можем найти длину самой биссектрисы ($l_a$) по формуле:

$ l_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC $

Подставим найденные и известные значения в формулу:

$ AD^2 = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4 $

$ AD^2 = 100 - 64 $

$ AD^2 = 36 $

$ AD = \sqrt{36} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.