Номер 73, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

73. Один из углов, образовавшихся при пересечении биссектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен одному из углов параллелограмма. Найдите углы параллелограмма.

Пусть в параллелограмме ABCD углы при одной стороне равны $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны.

Проведем биссектрису одного из углов, например, угла $\angle A = \alpha$. Пусть она пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Так как $AK$ – биссектриса, то $\angle BAK = \angle DAK = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку стороны $AD$ и $BC$ параллелограмма параллельны, а $AK$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ равны. Следовательно, $\angle AKB = \angle DAK = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\angle AKB$ является одним из углов, образовавшихся при пересечении биссектрисы со стороной.

По условию задачи, один из углов, образовавшихся при пересечении, равен одному из углов параллелограмма. Рассмотрим два возможных случая для угла $\angle AKB$.

Случай 1: Образовавшийся угол равен углу $\alpha$.
В этом случае $\angle AKB = \alpha$. Так как мы выяснили, что $\angle AKB = \frac{\alpha}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\alpha}{2} = \alpha$
Это равенство верно только при $\alpha = 0$, что невозможно для угла параллелограмма.

Случай 2: Образовавшийся угол равен углу $\beta$.
В этом случае $\angle AKB = \beta$. Получаем уравнение:
$\frac{\alpha}{2} = \beta$
Используем систему уравнений, связывающую углы параллелограмма:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\alpha}{2} = \beta \\ \alpha + \beta = 180^\circ \end{array} \right.$
Подставим выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе:
$\alpha + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$
$\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ$
$3\alpha = 360^\circ$
$\alpha = 120^\circ$
Тогда $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма равны $120^\circ$ и $60^\circ$.

Если бы биссектриса угла $\alpha$ пересекала сторону $CD$, или если бы мы рассматривали биссектрису угла $\beta$, или второй из образовавшихся при пересечении углов (смежный с $\angle AKB$), результат был бы таким же.

Следовательно, углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.