Номер 70, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

70. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$. На продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отметили точку $D$ так, что $BD = 2AB$. Докажите, что треугольник $ACD$ равнобедренный.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), он является равнобедренным. Углы при основании $AC$ такого треугольника равны. Зная угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$, найдем углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Точка $D$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой. Угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle CBD$: $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

По условию задачи $BD = 2AB$. Выберем на отрезке $BD$ точку $M$, которая является его серединой. Тогда $BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{2AB}{2} = AB$.

Рассмотрим треугольник $CBM$. Мы знаем, что $BC = AB$ (по условию) и $BM = AB$ (по построению). Следовательно, в треугольнике $CBM$ две стороны равны: $BC = BM$. Угол между этими сторонами, как мы нашли ранее, равен $\angle CBM = 60^\circ$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними составляет $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, треугольник $CBM$ — равносторонний. Все его стороны равны ($CM = BC = BM$), и все углы равны $60^\circ$. В частности, $CM = AB$ и $\angle CMB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Мы установили, что $CM = AB$ и $MD = AB$. Значит, $CM = MD$, и треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

Угол $\angle CMD$ является смежным с углом $\angle CMB$, так как точки $B, M, D$ лежат на одной прямой. $\angle CMD = 180^\circ - \angle CMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В равнобедренном треугольнике $CMD$ углы при основании равны: $\angle MDC = \angle MCD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Наконец, рассмотрим треугольник $ACD$. Мы можем определить величины двух его углов:

• $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle CAD = 30^\circ$.
• $\angle ADC$ совпадает с углом $\angle MDC$, поэтому $\angle ADC = 30^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ACD$ два угла равны ($\angle CAD = \angle ADC = 30^\circ$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны $AC$ и $CD$, лежащие напротив равных углов, равны между собой.

Ответ: Треугольник ACD является равнобедренным, так как было доказано, что углы при его основании AD равны $30^\circ$, что влечет за собой равенство боковых сторон AC и CD.