Номер 74, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

74. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а точки $D, E$ и $F$ принадлежат соответственно сторонам $AB, BC$ и $AC$ треугольника. Найдите стороны параллелограмма $ADEF$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $AD : AF = 2 : 3$.

Пусть стороны параллелограмма $ADEF$ равны $AD$ и $AF$. По условию задачи дано отношение $AD : AF = 2 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины сторон параллелограмма можно выразить как:
$AD = 2x$
$AF = 3x$

Поскольку $ADEF$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $AF$. Так как точка $F$ лежит на стороне $AC$ треугольника, то $DE \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$.

• Угол $B$ является общим для обоих треугольников.
• Угол $BDE$ равен углу $BAC$ (углу $A$) как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ ($ \triangle DBE \sim \triangle ABC $) по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:
$ \frac{DB}{AB} = \frac{DE}{AC} $

Теперь выразим длины отрезков $DB$ и $DE$ через $x$:
Отрезок $DB$ является частью стороны $AB$. $DB = AB - AD$. Подставляя известные значения, получаем:
$DB = 8 - 2x$
Сторона $DE$ параллелограмма равна противолежащей стороне $AF$.
$DE = AF = 3x$

Подставим полученные выражения в пропорцию:
$ \frac{8 - 2x}{8} = \frac{3x}{12} $

Решим это уравнение относительно $x$. Сначала упростим дробь в правой части:
$ \frac{8 - 2x}{8} = \frac{x}{4} $
Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$ 4 \cdot (8 - 2x) = 8 \cdot x $
$ 32 - 8x = 8x $
$ 32 = 8x + 8x $
$ 32 = 16x $
$ x = \frac{32}{16} = 2 $

Теперь, зная $x$, мы можем найти длины сторон параллелограмма:
$AD = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.
$AF = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см.