Номер 1, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окружности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду?

Чтобы найти длину хорды, зная диаметр окружности и вписанный угол, который на нее опирается, можно воспользоваться следствием из теоремы синусов. Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Обозначим:

• $c$ – искомая длина хорды;
• $D$ – известный диаметр окружности;
• $R$ – радиус окружности ($R = D/2$);
• $\alpha$ – известный вписанный угол, опирающийся на хорду $c$.

Способ 1: Через теорему синусов

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются концы хорды и вершина вписанного угла. Все три вершины этого треугольника лежат на окружности, следовательно, данная окружность является описанной для этого треугольника.
Согласно расширенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу ($2R$) описанной окружности. В нашем случае $2R$ – это диаметр $D$.
Применим эту теорему к нашему треугольнику:
$\frac{c}{\sin \alpha} = 2R$
Поскольку $2R = D$, мы можем переписать формулу как:
$\frac{c}{\sin \alpha} = D$
Выразим отсюда длину хорды $c$:
$c = D \cdot \sin \alpha$

Способ 2: Через центральный угол

Проведем радиусы к концам хорды. Получим равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются два радиуса ($R$), а основанием – наша хорда ($c$).
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $\alpha$, в два раза больше этого вписанного угла. Обозначим центральный угол как $\beta$.
$\beta = 2\alpha$
Теперь у нас есть равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\beta = 2\alpha$. Чтобы найти основание $c$, проведем в этом треугольнике высоту к основанию. Эта высота также будет являться медианой и биссектрисой.
Высота разделит центральный угол на два угла, равных $\alpha$, и хорду на два равных отрезка длиной $c/2$. Мы получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой $R$, катетом $c/2$ и противолежащим этому катету углом $\alpha$.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{c/2}{R}$
Выразим отсюда $c$:
$c/2 = R \cdot \sin \alpha$
$c = 2R \cdot \sin \alpha$
Так как $2R = D$, мы снова приходим к той же формуле:
$c = D \cdot \sin \alpha$

Таким образом, для нахождения хорды нужно умножить диаметр окружности на синус вписанного угла, который на нее опирается.

Ответ: Длина хорды ($c$) равна произведению диаметра окружности ($D$) на синус вписанного угла ($\alpha$), опирающегося на эту хорду. Формула: $c = D \cdot \sin \alpha$.