Страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;

2) существует угол, $ \sin x $ и $ \cos x $ которого равны;

3) существует угол, $ \sin x = 0 $ и $ \cos x = 0 $;

4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;

5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;

6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;

7) синус угла треугольника может быть равным нулю;

8) косинус угла треугольника может быть равным $ -1 $;

9) синус угла треугольника может быть равным $ 1 $;

10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла;

11) косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого;

12) синусы смежных углов равны;

13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами;

14) если $ \cos \alpha = \cos \beta $, то равны и сами углы;

15) если $ \sin \alpha = \sin \beta $, то равны и сами углы;

16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла;

17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла?

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла; Да, верно. Острый угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$, на котором косинус принимает положительные значения ($\cos \alpha > 0$). Тупой угол $\beta$ принадлежит интервалу $(90^\circ; 180^\circ)$, где косинус принимает отрицательные значения ($\cos \beta < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного. Ответ: Верно.

2) существует угол, синус и косинус которого равны; Да, верно. Это утверждение сводится к решению уравнения $\sin \alpha = \cos \alpha$. Если разделить обе части на $\cos \alpha$ (при условии, что он не равен нулю), получим $\tan \alpha = 1$. Такое равенство выполняется, например, для угла $\alpha = 45^\circ$, где $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: Верно.

3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю; Нет, неверно. Такого угла не существует, так как для любого угла $\alpha$ выполняется основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если бы синус и косинус были одновременно равны нулю, то $0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$. Ответ: Неверно.

4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу; Да, верно. Углы треугольника находятся в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Если один из углов тупой (например, $120^\circ$), то его косинус будет отрицательным. Например, $\cos(120^\circ) = -0.5$. Такой треугольник существует (например, с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$). Ответ: Верно.

5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу; Нет, неверно. Углы треугольника $\alpha$ находятся в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Для любого угла из этого интервала его синус строго положителен ($\sin \alpha > 0$). Ответ: Неверно.

6) косинус угла треугольника может быть равным нулю; Да, верно. Это возможно, если в треугольнике есть прямой угол. Косинус угла $90^\circ$ равен нулю. Такой треугольник называется прямоугольным. Ответ: Верно.

7) синус угла треугольника может быть равным нулю; Нет, неверно. Синус равен нулю для углов $0^\circ$ и $180^\circ$. Однако угол треугольника должен быть строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$, иначе треугольник "вырождается" в отрезок. Ответ: Неверно.

8) косинус угла треугольника может быть равным –1; Нет, неверно. Косинус равен $-1$ для угла $180^\circ$. Угол в треугольнике не может быть равен $180^\circ$, так как сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$, а остальные два угла должны быть положительными. Ответ: Неверно.

9) синус угла треугольника может быть равным 1; Да, верно. Синус равен 1 для угла $90^\circ$. В треугольнике может быть прямой угол (прямоугольный треугольник). Ответ: Верно.

10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла; Да, верно. Синус прямого угла ($90^\circ$) равен 1. Это максимальное значение, которое может принимать функция синуса. Для любого другого угла $\alpha$, не равного $90^\circ + 360^\circ k$ (где $k$ — целое число), значение $\sin \alpha$ будет строго меньше 1. Ответ: Верно.

11) косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого; Да, верно. Косинус развёрнутого угла ($180^\circ$) равен $-1$. Это минимальное значение, которое может принимать функция косинуса. Для любого другого угла $\beta$, не равного $180^\circ + 360^\circ k$ (где $k$ — целое число), значение $\cos \beta$ будет строго больше $-1$. Ответ: Верно.

12) синусы смежных углов равны; Да, верно. Смежные углы $\alpha$ и $\beta$ в сумме дают $180^\circ$, то есть $\beta = 180^\circ - \alpha$. По формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Следовательно, $\sin \beta = \sin \alpha$. Ответ: Верно.

13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами; Да, верно. Для смежных углов $\alpha$ и $\beta = 180^\circ - \alpha$ по формуле приведения имеем $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Таким образом, $\cos \beta = -\cos \alpha$. Это означает, что их косинусы — противоположные числа. Условие "неравных" означает, что углы не равны $90^\circ$, поэтому их косинусы не равны нулю. Ответ: Верно.

14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы; Нет, неверно. Из равенства $\cos \alpha = \cos \beta$ не следует, что $\alpha = \beta$. Например, $\cos(60^\circ) = 0.5$ и $\cos(-60^\circ) = 0.5$, но углы $60^\circ$ и $-60^\circ$ не равны. В общем случае, если $\cos \alpha = \cos \beta$, то $\alpha = \pm \beta + 360^\circ k$, где $k$ — целое число. Ответ: Неверно.

15) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы; Нет, неверно. Из равенства $\sin \alpha = \sin \beta$ не следует, что $\alpha = \beta$. Например, $\sin(30^\circ) = 0.5$ и $\sin(150^\circ) = 0.5$, но углы $30^\circ$ и $150^\circ$ не равны. В общем случае, если $\sin \alpha = \sin \beta$, то $\alpha = \beta + 360^\circ k$ или $\alpha = 180^\circ - \beta + 360^\circ k$, где $k$ — целое число. Ответ: Неверно.

16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла; Да, верно. Тангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) всегда положителен ($\tan \alpha > 0$). Тангенс тупого угла $\beta$ ($90^\circ < \beta < 180^\circ$) всегда отрицателен ($\tan \beta < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного. Ответ: Верно.

17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла? Да, верно. Тангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) всегда положителен ($\tan \alpha > 0$). Котангенс тупого угла $\beta$ ($90^\circ < \beta < 180^\circ$) всегда отрицателен ($\cot \beta < 0$), так как $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$, где $\cos \beta < 0$ и $\sin \beta > 0$. Положительное число всегда больше отрицательного. Ответ: Верно.

14. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \sin 110^\circ \cos 140^\circ $;

2) $ \sin 80^\circ \cos 100^\circ \cos 148^\circ $;

3) $ \sin 128^\circ \cos^2 130^\circ \operatorname{tg} 92^\circ $;

4) $ \sin 70^\circ \cos 90^\circ \operatorname{tg} 104^\circ $;

5) $ \operatorname{ctg} 100^\circ \sin 114^\circ \cos 11^\circ $;

6) $ \cos 85^\circ \sin 171^\circ \operatorname{ctg} 87^\circ $.

Чтобы сравнить значение выражения с нулём, нужно определить знак каждой тригонометрической функции, входящей в выражение, а затем определить знак их произведения. Знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой находится угол:

• I четверть (от 0° до 90°): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$.
• II четверть (от 90° до 180°): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$.
• III четверть (от 180° до 270°): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$.
• IV четверть (от 270° до 360°): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$.

Также учтём, что значения тригонометрических функций для углов на границах четвертей могут быть равны 0.

15. Найдите значение выражения:

1) $2\sin 120^\circ + 4\cos 150^\circ - 2\text{tg} 135^\circ$;

2) $\cos 120^\circ - 8\sin^2 150^\circ + 3\cos 90^\circ \cos 162^\circ$;

3) $\cos 180^\circ(\sin 135^\circ \text{tg} 60^\circ - \cos 135^\circ)^2$;

4) $2\sin^2 150^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \text{tg}^2 120^\circ - \text{ctg}^2 30^\circ$.

1) $2\sin 120^{\circ} + 4\cos 150^{\circ} - 2\text{tg} 135^{\circ}$

Для решения этого выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы найти значения тригонометрических функций для углов больше $90^{\circ}$.

1. Найдем значение $\sin 120^{\circ}$:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем значение $\cos 150^{\circ}$:
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем значение $\text{tg} 135^{\circ}$:
$\text{tg} 135^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg} 45^{\circ} = -1$

4. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2 \cdot (-1) = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

2) $\cos 120^{\circ} - 8\sin^2 150^{\circ} + 3\cos 90^{\circ} \cos 162^{\circ}$

Найдем значения необходимых тригонометрических функций.

1. Найдем значение $\cos 120^{\circ}$:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$

2. Найдем значение $\sin 150^{\circ}$:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
Тогда $\sin^2 150^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. Найдем значение $\cos 90^{\circ}$:
$\cos 90^{\circ} = 0$

4. Подставим значения в выражение. Так как $\cos 90^{\circ} = 0$, то все третье слагаемое $3\cos 90^{\circ} \cos 162^{\circ}$ будет равно нулю.

$-\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 \cdot \cos 162^{\circ} = -\frac{1}{2} - 2 + 0 = -2.5$

Ответ: -2.5

3) $\cos 180^{\circ}(\sin 135^{\circ} \text{tg} 60^{\circ} - \cos 135^{\circ})^2$

Найдем значения тригонометрических функций.

1. $\cos 180^{\circ} = -1$

2. $\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\text{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$

4. $\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Сначала вычислим выражение в скобках:

$\sin 135^{\circ} \text{tg} 60^{\circ} - \cos 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

6. Теперь возведем результат в квадрат:

$\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

7. Умножим на $\cos 180^{\circ}$:

$-1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$

4) $2\sin^2 150^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \sin^2 45^{\circ} + \text{tg}^2 120^{\circ} - \text{ctg}^2 30^{\circ}$

Вычислим значение каждого слагаемого.

1. $2\sin^2 150^{\circ}$:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$2\sin^2 150^{\circ} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

2. $\cos^2 60^{\circ}$:
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. $\sin^2 45^{\circ}$:
$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin^2 45^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. $\text{tg}^2 120^{\circ}$:
$\text{tg} 120^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\text{tg} 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$\text{tg}^2 120^{\circ} = (-\sqrt{3})^2 = 3$

5. $\text{ctg}^2 30^{\circ}$:
$\text{ctg} 30^{\circ} = \sqrt{3}$
$\text{ctg}^2 30^{\circ} = (\sqrt{3})^2 = 3$

6. Подставим все значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 - 3 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

Ответ: 1.25

16. Чему равно значение выражения:

1) $2\sin 150^{\circ} - 4\cos 120^{\circ};$

2) $\text{tg } 45^{\circ} \sin 120^{\circ} \text{ctg } 150^{\circ};$

3) $\sin 90^{\circ}(\text{tg } 150^{\circ} \cos 135^{\circ} - \text{tg } 120^{\circ} \cos 135^{\circ})^2?$

1) $2\sin 150^\circ - 4\cos 120^\circ$

Для решения этого выражения, сначала найдем значения тригонометрических функций для данных углов, используя формулы приведения.

Значение $\sin 150^\circ$:

$150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Угол приведения $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Значение $\cos 120^\circ$:

$120^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Угол приведения $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\sin 150^\circ - 4\cos 120^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Ответ: $3$

2) $\tan 45^\circ \sin 120^\circ \cot 150^\circ$

Найдем значения каждой тригонометрической функции в выражении.

Значение $\tan 45^\circ$ является табличным:

$\tan 45^\circ = 1$

Значение $\sin 120^\circ$ найдем по формуле приведения:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\cot 150^\circ$ найдем по формуле приведения:

$\cot 150^\circ = \cot(180^\circ - 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}$

Перемножим полученные значения:

$\tan 45^\circ \sin 120^\circ \cot 150^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}$

3) $\sin 90^\circ (\tan 150^\circ \cos 135^\circ - \tan 120^\circ \cos 135^\circ)^2$

Сначала найдем значения тригонометрических функций.

$\sin 90^\circ = 1$

$\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $\cos 135^\circ$ за скобки:

$\tan 150^\circ \cos 135^\circ - \tan 120^\circ \cos 135^\circ = \cos 135^\circ (\tan 150^\circ - \tan 120^\circ)$

Подставим значения:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\sqrt{3})\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6})^2}{3^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Наконец, умножим на $\sin 90^\circ$:

$\sin 90^\circ \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

17. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $ \frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} $;

2) $ \frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} $;

3) $ \frac{\operatorname{tg} 18^\circ}{\operatorname{tg} 162^\circ} $;

4) $ \frac{\operatorname{ctg} 18^\circ}{\operatorname{ctg} 162^\circ} $.

1)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}$, воспользуемся формулами приведения. Заметим, что $162^\circ + 18^\circ = 180^\circ$, откуда $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
В нашем случае $\alpha = 18^\circ$, поэтому:
$\sin 162^\circ = \sin(180^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} = \frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

2)

Найдем значение выражения $\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ}$.
Используем ту же подстановку: $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.
Следовательно:
$\cos 162^\circ = \cos(180^\circ - 18^\circ) = -\cos 18^\circ$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{-\cos 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

3)

Найдем значение выражения $\frac{\text{tg } 18^\circ}{\text{tg } 162^\circ}$.
Используем представление $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$ и формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$.
Получаем:
$\text{tg } 162^\circ = \text{tg}(180^\circ - 18^\circ) = -\text{tg } 18^\circ$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\text{tg } 18^\circ}{\text{tg } 162^\circ} = \frac{\text{tg } 18^\circ}{-\text{tg } 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

4)

Найдем значение выражения $\frac{\text{ctg } 18^\circ}{\text{ctg } 162^\circ}$.
Воспользуемся представлением $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$ и формулой приведения для котангенса: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.
Отсюда следует:
$\text{ctg } 162^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 18^\circ) = -\text{ctg } 18^\circ$.
Подставим полученное значение в дробь:
$\frac{\text{ctg } 18^\circ}{\text{ctg } 162^\circ} = \frac{\text{ctg } 18^\circ}{-\text{ctg } 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

18. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ}$;

2) $\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ}$;

3) $\frac{\text{tg } 12^\circ}{\text{tg } 168^\circ}$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для синуса имеет вид: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Представим угол в знаменателе $152^\circ$ как разность $180^\circ - 28^\circ$.

Применим формулу приведения:

$\sin 152^\circ = \sin(180^\circ - 28^\circ) = \sin 28^\circ$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{\sin 28^\circ}{\sin 152^\circ} = \frac{\sin 28^\circ}{\sin 28^\circ} = 1$.

Ответ: 1

2) Для нахождения значения выражения $\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для косинуса имеет вид: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.

Представим угол в знаменателе $131^\circ$ как разность $180^\circ - 49^\circ$.

Применим формулу приведения:

$\cos 131^\circ = \cos(180^\circ - 49^\circ) = -\cos 49^\circ$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{\cos 49^\circ}{\cos 131^\circ} = \frac{\cos 49^\circ}{-\cos 49^\circ} = -1$.

Ответ: -1

3) Для нахождения значения выражения $\frac{\operatorname{tg} 12^\circ}{\operatorname{tg} 168^\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для тангенса имеет вид: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$.

Представим угол в знаменателе $168^\circ$ как разность $180^\circ - 12^\circ$.

Применим формулу приведения:

$\operatorname{tg} 168^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 12^\circ) = -\operatorname{tg} 12^\circ$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{\operatorname{tg} 12^\circ}{\operatorname{tg} 168^\circ} = \frac{\operatorname{tg} 12^\circ}{-\operatorname{tg} 12^\circ} = -1$.

Ответ: -1