Страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Что называют косинусом угла $\alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$?

Косинус угла $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, определяется с помощью единичной окружности в декартовой системе координат $Oxy$. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1.

Отложим от положительного направления оси абсцисс ($Ox$) угол $\alpha$, поворачивая начальный радиус против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересечет единичную окружность в некоторой точке $P$ с координатами $(x, y)$.

По определению, косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos(\alpha)$) называется абсцисса (координата $x$) точки $P$:
$\cos(\alpha) = x$

Это определение является обобщением определения косинуса для острого угла в прямоугольном треугольнике и позволяет находить значения для углов вплоть до $180^\circ$. В зависимости от величины угла $\alpha$ знак косинуса будет меняться:
- Если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$, точка $P$ находится в первой координатной четверти (или на положительной полуоси $Ox$), где ее абсцисса $x$ положительна или равна 1. Следовательно, $\cos(\alpha) > 0$ (кроме $\cos(0^\circ) = 1$).
- Если $\alpha = 90^\circ$, точка $P$ имеет координаты $(0, 1)$. Ее абсцисса равна 0, поэтому $\cos(90^\circ) = 0$.
- Если $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$, точка $P$ находится во второй координатной четверти (или на отрицательной полуоси $Ox$), где ее абсцисса $x$ отрицательна или равна -1. Следовательно, $\cos(\alpha) < 0$ (кроме $\cos(180^\circ) = -1$).

Таким образом, для любого угла $\alpha$ из указанного диапазона значение косинуса находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$.

Ответ: Косинусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называют абсциссу точки на единичной окружности с центром в начале координат, которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси абсцисс.

5. Чему равен $\sin 0^\circ$, $\cos 0^\circ$, $\sin 90^\circ$, $\cos 90^\circ$, $\sin 180^\circ$, $\cos 180^\circ$?

Для определения значений тригонометрических функций для углов $0°$, $90°$ и $180°$ удобно использовать единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с радиусом $1$, центр которой находится в начале координат. Для любого угла $\alpha$, косинус ($\cos \alpha$) равен абсциссе ($x$), а синус ($\sin \alpha$) — ординате ($y$) точки пересечения луча, образующего этот угол с положительным направлением оси Ox, с единичной окружностью.

sin 0°

Угол $0°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата $y$) этой точки. В данном случае ордината равна $0$.

Ответ: $\sin 0° = 0$.

cos 0°

Угол $0°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата $x$) этой точки. В данном случае абсцисса равна $1$.

Ответ: $\cos 0° = 1$.

sin 90°

Угол $90°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(0, 1)$. Синус угла — это ордината (координата $y$) этой точки. В данном случае ордината равна $1$.

Ответ: $\sin 90° = 1$.

cos 90°

Угол $90°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(0, 1)$. Косинус угла — это абсцисса (координата $x$) этой точки. В данном случае абсцисса равна $0$.

Ответ: $\cos 90° = 0$.

sin 180°

Угол $180°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(-1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата $y$) этой точки. В данном случае ордината равна $0$.

Ответ: $\sin 180° = 0$.

cos 180°

Угол $180°$ соответствует точке на единичной окружности с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата $x$) этой точки. В данном случае абсцисса равна $-1$.

Ответ: $\cos 180° = -1$.

6. В каких пределах находятся значения sin $ \alpha $, если $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$?

Для того чтобы определить, в каких пределах находятся значения $ \sin\alpha $, если $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $, рассмотрим поведение синуса на единичной окружности. Значение синуса угла $ \alpha $ равно ординате (координате y) точки, соответствующей этому углу на единичной окружности.

Интервал $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $ охватывает первую и вторую координатные четверти.

• При $ \alpha = 0^\circ $, значение синуса равно $ \sin 0^\circ = 0 $. Это минимальное значение в заданном диапазоне.
• Когда угол $ \alpha $ возрастает от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $ (первая четверть), ордината y на единичной окружности увеличивается от 0 до 1.
• При $ \alpha = 90^\circ $, синус достигает своего максимального значения: $ \sin 90^\circ = 1 $.
• Когда угол $ \alpha $ продолжает возрастать от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $ (вторая четверть), ордината y уменьшается от 1 обратно до 0.
• При $ \alpha = 180^\circ $, значение синуса снова равно $ \sin 180^\circ = 0 $.

Таким образом, на промежутке от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ включительно, наименьшее значение функции $ \sin\alpha $ равно 0, а наибольшее равно 1. Все остальные значения лежат между этими двумя числами.

Следовательно, значения $ \sin\alpha $ находятся в пределах от 0 до 1, что можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $ 0 \le \sin\alpha \le 1 $.

7. В каких пределах находятся значения $ \cos \alpha $, если $ 0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ} $?

Чтобы определить, в каких пределах находятся значения $cos \alpha$, если $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, проанализируем поведение функции косинуса на этом интервале. Удобно использовать для этого единичную окружность.

Значение косинуса угла $\alpha$ равно абсциссе (координате по оси x) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

1. Рассмотрим начальную точку интервала: при $\alpha = 0^\circ$. Точка на единичной окружности имеет координаты $(1, 0)$. Таким образом, $cos(0^\circ) = 1$. Это является максимальным значением для функции косинуса.

2. По мере того как угол $\alpha$ увеличивается от $0^\circ$ до $90^\circ$ (I координатная четверть), абсцисса точки на окружности плавно уменьшается от 1 до 0. В точке $\alpha = 90^\circ$ значение косинуса равно $cos(90^\circ) = 0$.

3. При дальнейшем увеличении угла $\alpha$ от $90^\circ$ до $180^\circ$ (II координатная четверть), абсцисса точки становится отрицательной и продолжает уменьшаться от 0 до -1.

4. Рассмотрим конечную точку интервала: при $\alpha = 180^\circ$. Точка на единичной окружности имеет координаты $(-1, 0)$. Таким образом, $cos(180^\circ) = -1$. Это является минимальным значением для функции косинуса.

Следовательно, когда угол $\alpha$ изменяется от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно, значение $cos \alpha$ принимает все значения от $1$ до $-1$.

Ответ: $-1 \le cos \alpha \le 1$.

8. Каким числом, положительным или отрицательным, является синус острого угла? Синус тупого угла? Косинус острого угла? Косинус тупого угла?

Для определения знака тригонометрических функций удобно использовать единичную окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. По определению, для любого угла $\alpha$, отсчитываемого от положительного направления оси Ox, синус равен ординате (координате y), а косинус — абсциссе (координате x) точки пересечения стороны угла с единичной окружностью. То есть, точка на окружности имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

Синус острого угла

Острый угол $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Углы из этого диапазона располагаются в первой координатной четверти. В первой четверти все точки имеют положительную ординату ($y > 0$). Следовательно, синус острого угла всегда является положительным числом.

Ответ: положительным.

Синус тупого угла

Тупой угол $\alpha$ удовлетворяет условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Углы из этого диапазона располагаются во второй координатной четверти. Во второй четверти все точки также имеют положительную ординату ($y > 0$). Следовательно, синус тупого угла является положительным числом.

Ответ: положительным.

Косинус острого угла

Острый угол $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) располагается в первой координатной четверти. В этой четверти все точки имеют положительную абсциссу ($x > 0$). Следовательно, косинус острого угла всегда является положительным числом.

Ответ: положительным.

Косинус тупого угла

Тупой угол $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) располагается во второй координатной четверти. Во второй четверти все точки имеют отрицательную абсциссу ($x < 0$). Следовательно, косинус тупого угла является отрицательным числом.

Ответ: отрицательным.

9. Каким углом является угол $\alpha$, если $\cos \alpha < 0$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением косинуса через тригонометрическую (единичную) окружность. В декартовой системе координат косинус угла $\alpha$ — это абсцисса (координата по оси $x$) точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$.

Условие, что $\cos \alpha < 0$, означает, что абсцисса соответствующей точки на окружности отрицательна. Отрицательные значения абсциссы ($x < 0$) имеют все точки, расположенные во второй и третьей координатных четвертях.

Рассмотрим, каким углам соответствуют эти четверти:

1. Вторая четверть: Эта четверть соответствует углам $\alpha$ в интервале от $90°$ до $180°$ (или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ в радианах). Углы, которые больше $90°$ и меньше $180°$, по определению называются тупыми.

2. Третья четверть: Эта четверть соответствует углам $\alpha$ в интервале от $180°$ до $270°$ (или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ в радианах).

Таким образом, если косинус угла отрицателен, то этот угол может быть тупым (если он принадлежит второй четверти) или углом, лежащим в третьей четверти. Если речь идет об угле в треугольнике, то он может быть только тупым, так как угол треугольника не может превышать $180°$.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй или третьей координатной четверти. Это означает, что угол может быть тупым (если $90° < \alpha < 180°$) или находиться в диапазоне от $180°$ до $270°$.

10. Чему равен $\sin (180^\circ - \alpha)$, $\cos (180^\circ - \alpha)$?

Для нахождения значений выражений $sin(180° - \alpha)$ и $cos(180° - \alpha)$ используются так называемые формулы приведения. Их можно вывести с помощью формул сложения углов или с помощью единичной тригонометрической окружности.

sin(180° - α)

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Подставим в эту формулу $x = 180°$ и $y = \alpha$:

$sin(180° - \alpha) = sin(180°)cos(\alpha) - cos(180°)sin(\alpha)$

Мы знаем значения синуса и косинуса для угла $180°$:

$sin(180°) = 0$

$cos(180°) = -1$

Подставим эти значения в наше выражение:

$sin(180° - \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 + sin(\alpha) = sin(\alpha)$

Таким образом, синус угла $(180° - \alpha)$ равен синусу угла $\alpha$. Это также можно понять из единичной окружности: углы $\alpha$ и $180° - \alpha$ симметричны относительно оси ординат (оси Y), а значит, их ординаты (значения синуса) равны.

Ответ: $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$

cos(180° - α)

Воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Подставим в эту формулу $x = 180°$ и $y = \alpha$:

$cos(180° - \alpha) = cos(180°)cos(\alpha) + sin(180°)sin(\alpha)$

Используем известные значения $cos(180°) = -1$ и $sin(180°) = 0$:

$cos(180° - \alpha) = (-1) \cdot cos(\alpha) + (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Таким образом, косинус угла $(180° - \alpha)$ равен косинусу угла $\alpha$, взятому с противоположным знаком. На единичной окружности это соответствует тому, что абсциссы (значения косинуса) для углов $\alpha$ и $180° - \alpha$ равны по модулю, но противоположны по знаку.

Ответ: $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$

11. Как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла?

Синус и косинус одного и того же угла $\alpha$ связаны между собой через основное тригонометрическое тождество. Это тождество является прямым следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности.

Рассмотрим единичную окружность, то есть окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0,0)$. Возьмем на ней произвольную точку $M(x, y)$. Угол, образованный радиус-вектором $OM$ и положительным направлением оси $Ox$, обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций на единичной окружности, координаты точки $M$ равны:
$x = \cos(\alpha)$
$y = \sin(\alpha)$

Точка $M(x, y)$ лежит на окружности, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению окружности $x^2 + y^2 = R^2$. Так как радиус нашей окружности равен 1, уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = 1$.

Подставив в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через косинус и синус, мы получаем искомую связь:
$(\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1$

Это равенство принято записывать в более короткой форме, которая и называется основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Данное тождество справедливо для любого угла $\alpha$ и показывает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Оно позволяет, зная одну из функций (синус или косинус) и четверть, в которой находится угол, найти другую.

Ответ: Синус и косинус одного и того же угла $\alpha$ связаны основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

12. Что называют тангенсом угла $\alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$ и $\alpha \ne 90^{\circ}$?

Тангенсом угла $\alpha$ (где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ и $\alpha \ne 90^\circ$) называется число, равное отношению синуса этого угла к его косинусу.

Математически это определение записывается в виде формулы:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Это определение является основным и самым распространенным. Условие $\alpha \ne 90^\circ$ является обязательным, так как косинус угла $90^\circ$ равен нулю ($\cos 90^\circ = 0$), а на ноль делить нельзя. Поэтому для угла $90^\circ$ тангенс не определен.

Геометрическая интерпретация
Для наглядного представления тангенса используют единичную окружность (окружность с радиусом 1 и центром в начале координат).

1. В прямоугольной системе координат строится единичная окружность.
2. От положительного направления оси абсцисс (оси Ox) откладывается угол $\alpha$ (против часовой стрелки).
3. Проводится луч из начала координат под углом $\alpha$. Точка пересечения этого луча с единичной окружностью обозначается как $M(x, y)$.
4. Координаты этой точки по определению равны косинусу и синусу угла $\alpha$: $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Таким образом, тангенс угла $\alpha$ представляет собой отношение ординаты ($y$) к абсциссе ($x$) точки $M$ на единичной окружности:
$\tan \alpha = \frac{y}{x}$

Также существует понятие линии тангенсов. Это прямая, заданная уравнением $x=1$, которая касается единичной окружности в точке $(1, 0)$. Ордината точки пересечения луча, проведенного под углом $\alpha$, с линией тангенсов численно равна $\tan \alpha$. Если угол $\alpha=90^\circ$, то соответствующий луч параллелен линии тангенсов и не пересекает ее, что еще раз иллюстрирует, почему тангенс для этого угла не определен.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ и $\alpha \ne 90^\circ$, называется отношение синуса этого угла к его косинусу, то есть $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

13. Что называют котангенсом угла $\alpha$, где $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$?

Котангенсом угла $ \alpha $, где $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $, называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

Это определение выражается следующей математической формулой:
$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $
Данное определение является наиболее общим. Поскольку для любого угла $ \alpha $ из интервала $ (0^\circ; 180^\circ) $ его синус строго положителен ($ \sin \alpha > 0 $), котангенс определён для всех углов в указанном диапазоне.

Существует также геометрическое определение котангенса с использованием единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат). Если взять на этой окружности точку $ P(x, y) $, соответствующую углу $ \alpha $ (отложенному от положительной полуоси абсцисс), то её координаты будут равны $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $. В этом случае котангенс угла $ \alpha $ равен отношению абсциссы (координаты $x$) этой точки к её ординате (координате $y$):
$ \cot \alpha = \frac{x}{y} $

Для частного случая, когда угол $ \alpha $ является острым ($ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $), котангенс можно определить как отношение длины прилежащего катета к противолежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Знак котангенса в заданном диапазоне зависит от знака косинуса, так как синус всегда положителен.
1. Если $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $ (угол в I координатной четверти), то $ \cos \alpha > 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha > 0 $.
2. Если $ \alpha = 90^\circ $, то $ \cos \alpha = 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha = 0 $.
3. Если $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $ (угол во II координатной четверти), то $ \cos \alpha < 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha < 0 $.

Ответ: Котангенсом угла $ \alpha $, где $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $, является отношение косинуса данного угла к его синусу, то есть $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

14. Почему $\operatorname{tg}\alpha$ не определён для $\alpha = 90^\circ$?

Тангенс угла `$\alpha$` не определён для `$\alpha = 90^\circ$` (или `$\frac{\pi}{2}$` радиан) по нескольким взаимосвязанным причинам, которые можно рассмотреть с разных точек зрения.

1. Через определение тангенса

Основное тригонометрическое определение тангенса — это отношение синуса угла к его косинусу:
`$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$`
Для угла `$\alpha = 90^\circ$` значения синуса и косинуса равны:
`$\sin 90^\circ = 1$`
`$\cos 90^\circ = 0$`
Если подставить эти значения в формулу тангенса, мы получим выражение:
`$\tg 90^\circ = \frac{1}{0}$`
В математике операция деления на ноль не определена. Невозможно найти такое число, которое при умножении на 0 дало бы 1. Именно поэтому `$\tg 90^\circ$` не существует.
Ответ: Тангенс угла `$\alpha$` определяется как отношение `$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$`. Поскольку `$\cos 90^\circ = 0$`, вычисление тангенса для угла `$90^\circ$` приводит к делению на ноль, что является недопустимой математической операцией.

2. Через геометрию прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла `$\alpha$` определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
`$\tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$`
Рассмотрим, что происходит с треугольником, когда один из его острых углов `$\alpha$` стремится к `$90^\circ$`. В этом случае второй острый угол (`$90^\circ - \alpha$`) будет стремиться к нулю. Это означает, что длина прилежащего к углу `$\alpha$` катета будет уменьшаться, стремясь к нулю. Когда же угол `$\alpha$` станет равен `$90^\circ$`, треугольник "схлопнется" в вертикальный отрезок, и длина прилежащего катета станет равной нулю.
Таким образом, для вычисления тангенса нам снова пришлось бы делить длину противолежащего катета (которая будет конечной) на ноль.
Ответ: В контексте прямоугольного треугольника `$\tg \alpha$` является отношением противолежащего катета к прилежащему. При `$\alpha = 90^\circ$` длина прилежащего катета становится равной нулю, что делает это отношение неопределённым.

3. Через единичную окружность

На единичной окружности тангенс угла `$\alpha$` можно представить геометрически. Это ордината (координата y) точки пересечения продолжения радиус-вектора, образующего угол `$\alpha$` с положительным направлением оси Ox, с так называемой "осью тангенсов" — вертикальной прямой `$x=1$`.
Когда угол `$\alpha$` равен `$90^\circ$`, соответствующий ему радиус-вектор направлен строго вертикально вверх вдоль оси Oy. Этот вектор лежит на прямой `$x=0$`.
Прямая `$x=0$` (ось Oy) параллельна оси тангенсов `$x=1$`. Параллельные прямые по определению не пересекаются.
Поскольку точки пересечения не существует, то и значение тангенса для данного угла найти невозможно.
Ответ: На единичной окружности `$\tg 90^\circ$` соответствует точке пересечения луча угла `$90^\circ$` с осью тангенсов (`$x=1$`). Этот луч параллелен оси тангенсов, и они никогда не пересекаются, поэтому тангенс не определён.

15. Почему $ctg \alpha$ не определён для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$?

Функция котангенса угла $\alpha$, обозначаемая как $ctg\alpha$, определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу. Математически это записывается так:

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Любая дробь не определена (не имеет смысла), когда ее знаменатель равен нулю. Следовательно, функция котангенса не определена для тех значений угла $\alpha$, при которых синус этого угла обращается в ноль, то есть когда $\sin\alpha = 0$.

Рассмотрим значения синуса для углов, указанных в вопросе.
Для угла $\alpha = 0^\circ$, значение синуса равно $\sin(0^\circ) = 0$.
Для угла $\alpha = 180^\circ$, значение синуса также равно $\sin(180^\circ) = 0$.

Таким образом, в обоих случаях при подстановке в формулу для котангенса мы получаем в знаменателе ноль:
Для $\alpha = 0^\circ$: $ctg(0^\circ) = \frac{\cos(0^\circ)}{\sin(0^\circ)} = \frac{1}{0}$.
Для $\alpha = 180^\circ$: $ctg(180^\circ) = \frac{\cos(180^\circ)}{\sin(180^\circ)} = \frac{-1}{0}$.

Поскольку операция деления на ноль в математике не определена, значение котангенса для углов $0^\circ$ и $180^\circ$ также не определено.

Ответ: $ctg\alpha$ не определен для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$, потому что по определению $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, а для этих углов знаменатель дроби, $\sin\alpha$, равен нулю ($\sin(0^\circ)=0$ и $\sin(180^\circ)=0$). Деление на ноль является неопределенной математической операцией.

16. Как называют функции $f(\alpha) = \sin \alpha$, $g(\alpha) = \cos \alpha$, $h(\alpha) = \tan \alpha$ и $p(\alpha) = \cot \alpha$?

Функции $f(\alpha) = \sin \alpha$, $g(\alpha) = \cos \alpha$, $h(\alpha) = \text{tg } \alpha$ и $p(\alpha) = \text{ctg } \alpha$ называют тригонометрическими функциями. Это класс элементарных функций, которые изначально возникли для выражения соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Эти функции определяются следующим образом, если рассматривать прямоугольный треугольник и угол $\alpha$ в нём:

Синус ($ \sin \alpha $) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

Косинус ($ \cos \alpha $) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

Тангенс ($ \text{tg } \alpha $) — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Его также можно выразить как отношение синуса к косинусу.
$ \text{tg } \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Котангенс ($ \text{ctg } \alpha $) — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Эта функция является обратной к тангенсу.
$ \text{ctg } \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Помимо определений через прямоугольный треугольник, тригонометрические функции также определяются через единичную окружность, что позволяет расширить их область определения на все действительные и даже комплексные числа. Они являются периодическими и находят широчайшее применение в математике, физике, инженерии, астрономии и многих других науках для описания колебательных и волновых процессов.

Ответ: тригонометрические функции.

1. Начертите единичную полуокружность, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 5 раз больше стороны клетки тетради. Постройте угол, вершиной которого является начало координат, а одной из сторон — положительная полуось оси абсцисс:

1) косинус которого равен $\frac{1}{5}$;

2) косинус которого равен $-0,4$;

3) синус которого равен $0,6$;

4) синус которого равен $1$;

5) косинус которого равен $0$;

6) косинус которого равен $-1$.

Для решения задачи сначала построим систему координат $xOy$. За единичный отрезок примем отрезок, длина которого в 5 раз больше стороны клетки тетради. Начертим единичную полуокружность — это полуокружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=1$ (что соответствует 5 клеткам), расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Угол $\alpha$ строится так, что его вершина находится в начале координат, одна сторона совпадает с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$), а вторая сторона пересекает полуокружность в некоторой точке $M(x;y)$. По определению синуса и косинуса на единичной окружности, абсцисса этой точки равна косинусу угла ($x = \cos(\alpha)$), а ордината — синусу угла ($y = \sin(\alpha)$).

Таким образом, для построения угла по заданному значению косинуса или синуса, нужно найти на полуокружности точку $M$, у которой соответствующая координата равна заданному значению, и провести через неё и начало координат луч, который и будет второй стороной угла.

1) косинус которого равен $\frac{1}{5}$

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{5}$. По определению, $\cos(\alpha)$ - это абсцисса точки $M(x;y)$ на единичной полуокружности. Следовательно, $x = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти эту точку на нашем чертеже, учтем масштаб: единичный отрезок равен 5 клеткам. Поэтому абсцисса искомой точки на чертеже будет равна $x_{черт} = x \cdot 5 = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$ клетка.

Построение:

1. На оси абсцисс откладываем вправо от начала координат 1 клетку и проводим через эту точку вертикальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в искомой точке $M$.
3. Соединяем начало координат $O$ с точкой $M$.
4. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OM$ и есть искомый угол $\alpha$.

Ответ: Искомый угол — это угол, образованный положительной полуосью абсцисс и отрезком $OM$, где $M$ — точка пересечения единичной полуокружности и вертикальной прямой, проходящей на расстоянии 1 клетки вправо от оси ординат.

2) косинус которого равен –0,4

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -0,4 = -\frac{2}{5}$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = -0,4$. В нашем масштабе абсцисса точки на чертеже будет $x_{черт} = x \cdot 5 = -0,4 \cdot 5 = -2$ клетки.

Построение:

1. На оси абсцисс откладываем влево от начала координат 2 клетки и проводим через эту точку вертикальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в точке $M$.
3. Соединяем начало координат $O$ с точкой $M$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OM$ — искомый угол.

Ответ: Искомый угол — это угол, образованный положительной полуосью абсцисс и отрезком $OM$, где $M$ — точка пересечения единичной полуокружности и вертикальной прямой, проходящей на расстоянии 2 клеток влево от оси ординат.

3) синус которого равен 0,6

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 0,6 = \frac{3}{5}$. По определению, $\sin(\alpha)$ - это ордината точки $M(x;y)$ на единичной полуокружности, т.е. $y = 0,6$.

В нашем масштабе ордината точки на чертеже будет $y_{черт} = y \cdot 5 = 0,6 \cdot 5 = 3$ клетки.

Построение:

1. На оси ординат откладываем вверх от начала координат 3 клетки и проводим через эту точку горизонтальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в двух точках: $M_1$ (в первой координатной четверти) и $M_2$ (во второй координатной четверти).
3. Соединяем начало координат $O$ с точками $M_1$ и $M_2$.
4. Получаем два угла, удовлетворяющих условию: острый угол $\angle M_1Ox$ и тупой угол $\angle M_2Ox$.

Ответ: Заданному условию соответствуют два угла. Они образованы положительной полуосью абсцисс и отрезками $OM_1$ и $OM_2$, где $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения единичной полуокружности и горизонтальной прямой, проходящей на расстоянии 3 клеток вверх от оси абсцисс.

4) синус которого равен 1

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 1$.

Ордината точки $M$ на единичной полуокружности равна $y = 1$. В нашем масштабе ордината точки на чертеже будет $y_{черт} = y \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$ клеток. Эта точка является вершиной полуокружности и лежит на оси ординат. Ее координаты на чертеже $M(0;5)$.

Построение:

Вторая сторона угла совпадает с положительной полуосью $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и положительным направлением оси $Oy$ равен $90^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $90^\circ$. Его вторая сторона совпадает с положительной полуосью ординат.

5) косинус которого равен 0

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = 0$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = 0$. Это означает, что точка $M$ лежит на оси ординат. В верхней полуплоскости это точка с ординатой $y=1$. В нашем масштабе это точка $M(0;5)$ на чертеже.

Построение:

Это та же точка, что и в предыдущем пункте. Вторая сторона угла совпадает с положительной полуосью $Oy$. Угол равен $90^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $90^\circ$. Его вторая сторона совпадает с положительной полуосью ординат.

6) косинус которого равен –1

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -1$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = -1$. В нашем масштабе абсцисса точки на чертеже будет $x_{черт} = x \cdot 5 = -1 \cdot 5 = -5$ клеток. Эта точка лежит на оси абсцисс. Ее координаты на чертеже $M(-5;0)$.

Построение:

Вторая сторона угла совпадает с отрицательной полуосью $Ox$. Угол между положительным и отрицательным направлениями оси $Ox$ является развернутым и равен $180^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $180^\circ$. Его вторая сторона совпадает с отрицательной полуосью абсцисс.

2. Чему равен:

1) $ \sin (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{3} $;

2) $ \cos (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \cos \alpha = 0,7 $;

3) $ \cos (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \cos \alpha = - \frac{4}{9} $;

4) $ \operatorname{tg} (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \operatorname{tg} \alpha = -5 $;

5) $ \operatorname{ctg} (180^{\circ} - \alpha) $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = - \frac{1}{3} $?

1) Для нахождения значения выражения $sin(180^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для синуса имеет вид: $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$. По условию задачи нам дано, что $sin(\alpha) = \frac{1}{3}$. Подставив это значение в формулу, получаем: $sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Для нахождения значения выражения $cos(180^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для косинуса имеет вид: $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$. По условию задачи нам дано, что $cos(\alpha) = 0,7$. Подставив это значение в формулу, получаем: $cos(180^\circ - \alpha) = -0,7$.
Ответ: $-0,7$

3) Для нахождения значения выражения $cos(180^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$. По условию задачи нам дано, что $cos(\alpha) = -\frac{4}{9}$. Подставив это значение в формулу, получаем: $cos(180^\circ - \alpha) = -(-\frac{4}{9}) = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

4) Для нахождения значения выражения $tg(180^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для тангенса имеет вид: $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$. По условию задачи нам дано, что $tg(\alpha) = -5$. Подставив это значение в формулу, получаем: $tg(180^\circ - \alpha) = -(-5) = 5$.
Ответ: $5$

5) Для нахождения значения выражения $ctg(180^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Формула приведения для котангенса имеет вид: $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$. По условию задачи нам дано, что $ctg(\alpha) = -\frac{1}{3}$. Подставив это значение в формулу, получаем: $ctg(180^\circ - \alpha) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$