Номер 13, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Что называют котангенсом угла $\alpha$, где $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$?

Котангенсом угла $ \alpha $, где $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $, называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

Это определение выражается следующей математической формулой:
$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $
Данное определение является наиболее общим. Поскольку для любого угла $ \alpha $ из интервала $ (0^\circ; 180^\circ) $ его синус строго положителен ($ \sin \alpha > 0 $), котангенс определён для всех углов в указанном диапазоне.

Существует также геометрическое определение котангенса с использованием единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат). Если взять на этой окружности точку $ P(x, y) $, соответствующую углу $ \alpha $ (отложенному от положительной полуоси абсцисс), то её координаты будут равны $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $. В этом случае котангенс угла $ \alpha $ равен отношению абсциссы (координаты $x$) этой точки к её ординате (координате $y$):
$ \cot \alpha = \frac{x}{y} $

Для частного случая, когда угол $ \alpha $ является острым ($ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $), котангенс можно определить как отношение длины прилежащего катета к противолежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Знак котангенса в заданном диапазоне зависит от знака косинуса, так как синус всегда положителен.
1. Если $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $ (угол в I координатной четверти), то $ \cos \alpha > 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha > 0 $.
2. Если $ \alpha = 90^\circ $, то $ \cos \alpha = 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha = 0 $.
3. Если $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $ (угол во II координатной четверти), то $ \cos \alpha < 0 $, и, следовательно, $ \cot \alpha < 0 $.

Ответ: Котангенсом угла $ \alpha $, где $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $, является отношение косинуса данного угла к его синусу, то есть $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.