Номер 14, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Почему $\operatorname{tg}\alpha$ не определён для $\alpha = 90^\circ$?

Тангенс угла `$\alpha$` не определён для `$\alpha = 90^\circ$` (или `$\frac{\pi}{2}$` радиан) по нескольким взаимосвязанным причинам, которые можно рассмотреть с разных точек зрения.

1. Через определение тангенса

Основное тригонометрическое определение тангенса — это отношение синуса угла к его косинусу:
`$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$`
Для угла `$\alpha = 90^\circ$` значения синуса и косинуса равны:
`$\sin 90^\circ = 1$`
`$\cos 90^\circ = 0$`
Если подставить эти значения в формулу тангенса, мы получим выражение:
`$\tg 90^\circ = \frac{1}{0}$`
В математике операция деления на ноль не определена. Невозможно найти такое число, которое при умножении на 0 дало бы 1. Именно поэтому `$\tg 90^\circ$` не существует.
Ответ: Тангенс угла `$\alpha$` определяется как отношение `$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$`. Поскольку `$\cos 90^\circ = 0$`, вычисление тангенса для угла `$90^\circ$` приводит к делению на ноль, что является недопустимой математической операцией.

2. Через геометрию прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла `$\alpha$` определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
`$\tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$`
Рассмотрим, что происходит с треугольником, когда один из его острых углов `$\alpha$` стремится к `$90^\circ$`. В этом случае второй острый угол (`$90^\circ - \alpha$`) будет стремиться к нулю. Это означает, что длина прилежащего к углу `$\alpha$` катета будет уменьшаться, стремясь к нулю. Когда же угол `$\alpha$` станет равен `$90^\circ$`, треугольник "схлопнется" в вертикальный отрезок, и длина прилежащего катета станет равной нулю.
Таким образом, для вычисления тангенса нам снова пришлось бы делить длину противолежащего катета (которая будет конечной) на ноль.
Ответ: В контексте прямоугольного треугольника `$\tg \alpha$` является отношением противолежащего катета к прилежащему. При `$\alpha = 90^\circ$` длина прилежащего катета становится равной нулю, что делает это отношение неопределённым.

3. Через единичную окружность

На единичной окружности тангенс угла `$\alpha$` можно представить геометрически. Это ордината (координата y) точки пересечения продолжения радиус-вектора, образующего угол `$\alpha$` с положительным направлением оси Ox, с так называемой "осью тангенсов" — вертикальной прямой `$x=1$`.
Когда угол `$\alpha$` равен `$90^\circ$`, соответствующий ему радиус-вектор направлен строго вертикально вверх вдоль оси Oy. Этот вектор лежит на прямой `$x=0$`.
Прямая `$x=0$` (ось Oy) параллельна оси тангенсов `$x=1$`. Параллельные прямые по определению не пересекаются.
Поскольку точки пересечения не существует, то и значение тангенса для данного угла найти невозможно.
Ответ: На единичной окружности `$\tg 90^\circ$` соответствует точке пересечения луча угла `$90^\circ$` с осью тангенсов (`$x=1$`). Этот луч параллелен оси тангенсов, и они никогда не пересекаются, поэтому тангенс не определён.