Номер 15, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. Почему $ctg \alpha$ не определён для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$?

Функция котангенса угла $\alpha$, обозначаемая как $ctg\alpha$, определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу. Математически это записывается так:

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Любая дробь не определена (не имеет смысла), когда ее знаменатель равен нулю. Следовательно, функция котангенса не определена для тех значений угла $\alpha$, при которых синус этого угла обращается в ноль, то есть когда $\sin\alpha = 0$.

Рассмотрим значения синуса для углов, указанных в вопросе.
Для угла $\alpha = 0^\circ$, значение синуса равно $\sin(0^\circ) = 0$.
Для угла $\alpha = 180^\circ$, значение синуса также равно $\sin(180^\circ) = 0$.

Таким образом, в обоих случаях при подстановке в формулу для котангенса мы получаем в знаменателе ноль:
Для $\alpha = 0^\circ$: $ctg(0^\circ) = \frac{\cos(0^\circ)}{\sin(0^\circ)} = \frac{1}{0}$.
Для $\alpha = 180^\circ$: $ctg(180^\circ) = \frac{\cos(180^\circ)}{\sin(180^\circ)} = \frac{-1}{0}$.

Поскольку операция деления на ноль в математике не определена, значение котангенса для углов $0^\circ$ и $180^\circ$ также не определено.

Ответ: $ctg\alpha$ не определен для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$, потому что по определению $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, а для этих углов знаменатель дроби, $\sin\alpha$, равен нулю ($\sin(0^\circ)=0$ и $\sin(180^\circ)=0$). Деление на ноль является неопределенной математической операцией.