Номер 1, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Начертите единичную полуокружность, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 5 раз больше стороны клетки тетради. Постройте угол, вершиной которого является начало координат, а одной из сторон — положительная полуось оси абсцисс:

1) косинус которого равен $\frac{1}{5}$;

2) косинус которого равен $-0,4$;

3) синус которого равен $0,6$;

4) синус которого равен $1$;

5) косинус которого равен $0$;

6) косинус которого равен $-1$.

Для решения задачи сначала построим систему координат $xOy$. За единичный отрезок примем отрезок, длина которого в 5 раз больше стороны клетки тетради. Начертим единичную полуокружность — это полуокружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=1$ (что соответствует 5 клеткам), расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Угол $\alpha$ строится так, что его вершина находится в начале координат, одна сторона совпадает с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$), а вторая сторона пересекает полуокружность в некоторой точке $M(x;y)$. По определению синуса и косинуса на единичной окружности, абсцисса этой точки равна косинусу угла ($x = \cos(\alpha)$), а ордината — синусу угла ($y = \sin(\alpha)$).

Таким образом, для построения угла по заданному значению косинуса или синуса, нужно найти на полуокружности точку $M$, у которой соответствующая координата равна заданному значению, и провести через неё и начало координат луч, который и будет второй стороной угла.

1) косинус которого равен $\frac{1}{5}$

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{5}$. По определению, $\cos(\alpha)$ - это абсцисса точки $M(x;y)$ на единичной полуокружности. Следовательно, $x = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти эту точку на нашем чертеже, учтем масштаб: единичный отрезок равен 5 клеткам. Поэтому абсцисса искомой точки на чертеже будет равна $x_{черт} = x \cdot 5 = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$ клетка.

Построение:

1. На оси абсцисс откладываем вправо от начала координат 1 клетку и проводим через эту точку вертикальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в искомой точке $M$.
3. Соединяем начало координат $O$ с точкой $M$.
4. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OM$ и есть искомый угол $\alpha$.

Ответ: Искомый угол — это угол, образованный положительной полуосью абсцисс и отрезком $OM$, где $M$ — точка пересечения единичной полуокружности и вертикальной прямой, проходящей на расстоянии 1 клетки вправо от оси ординат.

2) косинус которого равен –0,4

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -0,4 = -\frac{2}{5}$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = -0,4$. В нашем масштабе абсцисса точки на чертеже будет $x_{черт} = x \cdot 5 = -0,4 \cdot 5 = -2$ клетки.

Построение:

1. На оси абсцисс откладываем влево от начала координат 2 клетки и проводим через эту точку вертикальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в точке $M$.
3. Соединяем начало координат $O$ с точкой $M$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OM$ — искомый угол.

Ответ: Искомый угол — это угол, образованный положительной полуосью абсцисс и отрезком $OM$, где $M$ — точка пересечения единичной полуокружности и вертикальной прямой, проходящей на расстоянии 2 клеток влево от оси ординат.

3) синус которого равен 0,6

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 0,6 = \frac{3}{5}$. По определению, $\sin(\alpha)$ - это ордината точки $M(x;y)$ на единичной полуокружности, т.е. $y = 0,6$.

В нашем масштабе ордината точки на чертеже будет $y_{черт} = y \cdot 5 = 0,6 \cdot 5 = 3$ клетки.

Построение:

1. На оси ординат откладываем вверх от начала координат 3 клетки и проводим через эту точку горизонтальную прямую.
2. Эта прямая пересечет единичную полуокружность в двух точках: $M_1$ (в первой координатной четверти) и $M_2$ (во второй координатной четверти).
3. Соединяем начало координат $O$ с точками $M_1$ и $M_2$.
4. Получаем два угла, удовлетворяющих условию: острый угол $\angle M_1Ox$ и тупой угол $\angle M_2Ox$.

Ответ: Заданному условию соответствуют два угла. Они образованы положительной полуосью абсцисс и отрезками $OM_1$ и $OM_2$, где $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения единичной полуокружности и горизонтальной прямой, проходящей на расстоянии 3 клеток вверх от оси абсцисс.

4) синус которого равен 1

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = 1$.

Ордината точки $M$ на единичной полуокружности равна $y = 1$. В нашем масштабе ордината точки на чертеже будет $y_{черт} = y \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$ клеток. Эта точка является вершиной полуокружности и лежит на оси ординат. Ее координаты на чертеже $M(0;5)$.

Построение:

Вторая сторона угла совпадает с положительной полуосью $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и положительным направлением оси $Oy$ равен $90^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $90^\circ$. Его вторая сторона совпадает с положительной полуосью ординат.

5) косинус которого равен 0

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = 0$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = 0$. Это означает, что точка $M$ лежит на оси ординат. В верхней полуплоскости это точка с ординатой $y=1$. В нашем масштабе это точка $M(0;5)$ на чертеже.

Построение:

Это та же точка, что и в предыдущем пункте. Вторая сторона угла совпадает с положительной полуосью $Oy$. Угол равен $90^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $90^\circ$. Его вторая сторона совпадает с положительной полуосью ординат.

6) косинус которого равен –1

Требуется построить угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -1$.

Абсцисса точки $M$ на единичной полуокружности равна $x = -1$. В нашем масштабе абсцисса точки на чертеже будет $x_{черт} = x \cdot 5 = -1 \cdot 5 = -5$ клеток. Эта точка лежит на оси абсцисс. Ее координаты на чертеже $M(-5;0)$.

Построение:

Вторая сторона угла совпадает с отрицательной полуосью $Ox$. Угол между положительным и отрицательным направлениями оси $Ox$ является развернутым и равен $180^\circ$.

Ответ: Искомый угол равен $180^\circ$. Его вторая сторона совпадает с отрицательной полуосью абсцисс.