Номер 10, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Чему равен $\sin (180^\circ - \alpha)$, $\cos (180^\circ - \alpha)$?

Для нахождения значений выражений $sin(180° - \alpha)$ и $cos(180° - \alpha)$ используются так называемые формулы приведения. Их можно вывести с помощью формул сложения углов или с помощью единичной тригонометрической окружности.

sin(180° - α)

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Подставим в эту формулу $x = 180°$ и $y = \alpha$:

$sin(180° - \alpha) = sin(180°)cos(\alpha) - cos(180°)sin(\alpha)$

Мы знаем значения синуса и косинуса для угла $180°$:

$sin(180°) = 0$

$cos(180°) = -1$

Подставим эти значения в наше выражение:

$sin(180° - \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 + sin(\alpha) = sin(\alpha)$

Таким образом, синус угла $(180° - \alpha)$ равен синусу угла $\alpha$. Это также можно понять из единичной окружности: углы $\alpha$ и $180° - \alpha$ симметричны относительно оси ординат (оси Y), а значит, их ординаты (значения синуса) равны.

Ответ: $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$

cos(180° - α)

Воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Подставим в эту формулу $x = 180°$ и $y = \alpha$:

$cos(180° - \alpha) = cos(180°)cos(\alpha) + sin(180°)sin(\alpha)$

Используем известные значения $cos(180°) = -1$ и $sin(180°) = 0$:

$cos(180° - \alpha) = (-1) \cdot cos(\alpha) + (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Таким образом, косинус угла $(180° - \alpha)$ равен косинусу угла $\alpha$, взятому с противоположным знаком. На единичной окружности это соответствует тому, что абсциссы (значения косинуса) для углов $\alpha$ и $180° - \alpha$ равны по модулю, но противоположны по знаку.

Ответ: $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$