Номер 6, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. В каких пределах находятся значения sin $ \alpha $, если $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$?

Для того чтобы определить, в каких пределах находятся значения $ \sin\alpha $, если $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $, рассмотрим поведение синуса на единичной окружности. Значение синуса угла $ \alpha $ равно ординате (координате y) точки, соответствующей этому углу на единичной окружности.

Интервал $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $ охватывает первую и вторую координатные четверти.

• При $ \alpha = 0^\circ $, значение синуса равно $ \sin 0^\circ = 0 $. Это минимальное значение в заданном диапазоне.
• Когда угол $ \alpha $ возрастает от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $ (первая четверть), ордината y на единичной окружности увеличивается от 0 до 1.
• При $ \alpha = 90^\circ $, синус достигает своего максимального значения: $ \sin 90^\circ = 1 $.
• Когда угол $ \alpha $ продолжает возрастать от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $ (вторая четверть), ордината y уменьшается от 1 обратно до 0.
• При $ \alpha = 180^\circ $, значение синуса снова равно $ \sin 180^\circ = 0 $.

Таким образом, на промежутке от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ включительно, наименьшее значение функции $ \sin\alpha $ равно 0, а наибольшее равно 1. Все остальные значения лежат между этими двумя числами.

Следовательно, значения $ \sin\alpha $ находятся в пределах от 0 до 1, что можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $ 0 \le \sin\alpha \le 1 $.