Номер 12, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Что называют тангенсом угла $\alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$ и $\alpha \ne 90^{\circ}$?

Тангенсом угла $\alpha$ (где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ и $\alpha \ne 90^\circ$) называется число, равное отношению синуса этого угла к его косинусу.

Математически это определение записывается в виде формулы:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Это определение является основным и самым распространенным. Условие $\alpha \ne 90^\circ$ является обязательным, так как косинус угла $90^\circ$ равен нулю ($\cos 90^\circ = 0$), а на ноль делить нельзя. Поэтому для угла $90^\circ$ тангенс не определен.

Геометрическая интерпретация
Для наглядного представления тангенса используют единичную окружность (окружность с радиусом 1 и центром в начале координат).

1. В прямоугольной системе координат строится единичная окружность.
2. От положительного направления оси абсцисс (оси Ox) откладывается угол $\alpha$ (против часовой стрелки).
3. Проводится луч из начала координат под углом $\alpha$. Точка пересечения этого луча с единичной окружностью обозначается как $M(x, y)$.
4. Координаты этой точки по определению равны косинусу и синусу угла $\alpha$: $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Таким образом, тангенс угла $\alpha$ представляет собой отношение ординаты ($y$) к абсциссе ($x$) точки $M$ на единичной окружности:
$\tan \alpha = \frac{y}{x}$

Также существует понятие линии тангенсов. Это прямая, заданная уравнением $x=1$, которая касается единичной окружности в точке $(1, 0)$. Ордината точки пересечения луча, проведенного под углом $\alpha$, с линией тангенсов численно равна $\tan \alpha$. Если угол $\alpha=90^\circ$, то соответствующий луч параллелен линии тангенсов и не пересекает ее, что еще раз иллюстрирует, почему тангенс для этого угла не определен.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ и $\alpha \ne 90^\circ$, называется отношение синуса этого угла к его косинусу, то есть $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.