Номер 3, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ смежные, $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $.

1) Найдите $ \cos \beta $.

2) Какой из углов $ \alpha $ и $ \beta $ является острым, а какой – тупым?

1) Найдите cos β.

По определению, смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, для углов $ \alpha $ и $ \beta $ выполняется равенство:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
Выразим отсюда угол $ \beta $:
$ \beta = 180^\circ - \alpha $
Теперь найдем косинус угла $ \beta $, используя формулу приведения $ \cos(180^\circ - x) = -\cos x $:
$ \cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $
В условии дано, что $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $. Подставим это значение в полученное выражение:
$ \cos \beta = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \cos \beta = \frac{1}{6} $.

2) Какой из углов α и β является острым, а какой – тупым?

Тип угла (в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$) можно определить по знаку его косинуса:
- если косинус угла положителен, то угол острый (от $0^\circ$ до $90^\circ$);
- если косинус угла отрицателен, то угол тупой (от $90^\circ$ до $180^\circ$).

Проанализируем знаки косинусов для углов $ \alpha $ и $ \beta $:
- Для угла $ \alpha $ дано $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $. Так как $ \cos \alpha < 0 $, то угол $ \alpha $ является тупым.
- Для угла $ \beta $ мы нашли, что $ \cos \beta = \frac{1}{6} $. Так как $ \cos \beta > 0 $, то угол $ \beta $ является острым.

Ответ: угол $ \alpha $ – тупой, угол $ \beta $ – острый.