Номер 10, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Существует ли угол $\alpha$, для которого:

1) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,3$;

3) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5}$;

4) $\cos \alpha = -0,99$;

5) $\cos \alpha = 1,001$;

6) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$?

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Для любого действительного угла $ \alpha $ значения его синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1 включительно. То есть, для существования угла $ \alpha $ должны выполняться неравенства:

$ -1 \le \sin \alpha \le 1 $

$ -1 \le \cos \alpha \le 1 $

Проверим каждое из предложенных равенств на соответствие этому свойству.

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $

Значение $ \frac{1}{2} $ равно 0,5. Проверяем условие: $ -1 \le 0,5 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует (например, $ \alpha = 30^\circ $ или $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ рад).
Ответ: да, существует.

2) $ \sin \alpha = 0,3 $

Проверяем условие: $ -1 \le 0,3 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

3) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} $

Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты. $ (\frac{\sqrt{3}}{5})^2 = \frac{3}{25} $. Так как $ 3 < 25 $, то $ \frac{3}{25} < 1 $, и следовательно $ 0 < \frac{\sqrt{3}}{5} < 1 $. Таким образом, условие $ -1 \le \frac{\sqrt{3}}{5} \le 1 $ выполняется. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

4) $ \cos \alpha = -0,99 $

Проверяем условие: $ -1 \le -0,99 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

5) $ \cos \alpha = 1,001 $

Проверяем условие: $ -1 \le 1,001 \le 1 $. Это неравенство неверно, так как $ 1,001 > 1 $. Максимальное значение косинуса равно 1. Следовательно, такого угла $ \alpha $ не существует.
Ответ: нет, не существует.

6) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} $

Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты. $ (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4} $. Так как $ 5 > 4 $, то $ \frac{5}{4} > 1 $, и следовательно $ \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $. Условие $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $ не выполняется. Максимальное значение синуса равно 1. Следовательно, такого угла $ \alpha $ не существует.
Ответ: нет, не существует.