Номер 17, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

17. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $ \frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} $;

2) $ \frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} $;

3) $ \frac{\operatorname{tg} 18^\circ}{\operatorname{tg} 162^\circ} $;

4) $ \frac{\operatorname{ctg} 18^\circ}{\operatorname{ctg} 162^\circ} $.

1)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}$, воспользуемся формулами приведения. Заметим, что $162^\circ + 18^\circ = 180^\circ$, откуда $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
В нашем случае $\alpha = 18^\circ$, поэтому:
$\sin 162^\circ = \sin(180^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} = \frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

2)

Найдем значение выражения $\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ}$.
Используем ту же подстановку: $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.
Следовательно:
$\cos 162^\circ = \cos(180^\circ - 18^\circ) = -\cos 18^\circ$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{-\cos 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

3)

Найдем значение выражения $\frac{\text{tg } 18^\circ}{\text{tg } 162^\circ}$.
Используем представление $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$ и формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$.
Получаем:
$\text{tg } 162^\circ = \text{tg}(180^\circ - 18^\circ) = -\text{tg } 18^\circ$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\text{tg } 18^\circ}{\text{tg } 162^\circ} = \frac{\text{tg } 18^\circ}{-\text{tg } 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

4)

Найдем значение выражения $\frac{\text{ctg } 18^\circ}{\text{ctg } 162^\circ}$.
Воспользуемся представлением $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$ и формулой приведения для котангенса: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.
Отсюда следует:
$\text{ctg } 162^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 18^\circ) = -\text{ctg } 18^\circ$.
Подставим полученное значение в дробь:
$\frac{\text{ctg } 18^\circ}{\text{ctg } 162^\circ} = \frac{\text{ctg } 18^\circ}{-\text{ctg } 18^\circ} = -1$.
Ответ: -1.