Номер 22, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

22. Точка $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $\cos \angle BOC = - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите угол $A$ треугольника.

По условию задачи, точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, отрезки $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно. Это означает, что:

$\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}\angle B$

$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}\angle C$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Нам дано значение косинуса угла $BOC$: $\cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\angle BOC$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $150^\circ$.

Итак, $\angle BOC = 150^\circ$.

Теперь подставим известное значение угла $\angle BOC$ в уравнение суммы углов треугольника $BOC$:

$150^\circ + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Выразим сумму углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:

$\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Теперь заменим $\angle OBC$ и $\angle OCB$ на их выражения через углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$:

$\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 30^\circ$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму углов $B$ и $C$:

$\angle B + \angle C = 60^\circ$

Наконец, используем свойство суммы углов для всего треугольника $ABC$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Подставим найденное значение суммы $\angle B + \angle C$:

$\angle A + 60^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $A$:

$\angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.