Номер 19, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

19. Найдите сумму квадратов синусов всех углов прямоугольного треугольника.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По определению прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, для прямоугольного треугольника имеем:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Подставив значение прямого угла, получаем:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда следует, что сумма двух острых углов равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить один острый угол через другой: $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Требуется найти сумму квадратов синусов всех углов, то есть величину $S$:

$S = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)$

Подставим в это выражение известные нам значения и соотношения:

$S = \sin^2(\alpha) + \sin^2(90^\circ - \alpha) + \sin^2(90^\circ)$

Теперь используем известные тригонометрические свойства:

1. Формулу приведения: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\sin^2(90^\circ - \alpha) = \cos^2(\alpha)$.

2. Значение синуса прямого угла: $\sin(90^\circ) = 1$. Следовательно, $\sin^2(90^\circ) = 1^2 = 1$.

Подставляем эти значения обратно в формулу для суммы:

$S = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

В результате получаем:

$S = 1 + 1 = 2$

Таким образом, сумма квадратов синусов всех углов любого прямоугольного треугольника является постоянной величиной и равна 2.

Ответ: 2