Номер 21, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

21. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B = 60^\circ$, точка $O$ – центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла $AOC$?

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, а отрезок $CO$ — биссектрисой угла $BCA$.

Это означает, что $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

По условию задачи $\angle ABC = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов:$\angle BAC + 60^\circ + \angle BCA = 180^\circ$.Отсюда найдем сумму углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$:$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$.

Мы можем выразить сумму углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$ через сумму углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$:$\angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle BCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Подставим найденное ранее значение суммы углов:$\angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle AOC$:$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Требуется найти косинус угла $AOC$.$\cos(\angle AOC) = \cos(120^\circ)$.

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.