Номер 15, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. Найдите значение выражения:

1) $2\sin 120^\circ + 4\cos 150^\circ - 2\text{tg} 135^\circ$;

2) $\cos 120^\circ - 8\sin^2 150^\circ + 3\cos 90^\circ \cos 162^\circ$;

3) $\cos 180^\circ(\sin 135^\circ \text{tg} 60^\circ - \cos 135^\circ)^2$;

4) $2\sin^2 150^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \text{tg}^2 120^\circ - \text{ctg}^2 30^\circ$.

1) $2\sin 120^{\circ} + 4\cos 150^{\circ} - 2\text{tg} 135^{\circ}$

Для решения этого выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы найти значения тригонометрических функций для углов больше $90^{\circ}$.

1. Найдем значение $\sin 120^{\circ}$:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем значение $\cos 150^{\circ}$:
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем значение $\text{tg} 135^{\circ}$:
$\text{tg} 135^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg} 45^{\circ} = -1$

4. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2 \cdot (-1) = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

2) $\cos 120^{\circ} - 8\sin^2 150^{\circ} + 3\cos 90^{\circ} \cos 162^{\circ}$

Найдем значения необходимых тригонометрических функций.

1. Найдем значение $\cos 120^{\circ}$:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$

2. Найдем значение $\sin 150^{\circ}$:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
Тогда $\sin^2 150^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. Найдем значение $\cos 90^{\circ}$:
$\cos 90^{\circ} = 0$

4. Подставим значения в выражение. Так как $\cos 90^{\circ} = 0$, то все третье слагаемое $3\cos 90^{\circ} \cos 162^{\circ}$ будет равно нулю.

$-\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 \cdot \cos 162^{\circ} = -\frac{1}{2} - 2 + 0 = -2.5$

Ответ: -2.5

3) $\cos 180^{\circ}(\sin 135^{\circ} \text{tg} 60^{\circ} - \cos 135^{\circ})^2$

Найдем значения тригонометрических функций.

1. $\cos 180^{\circ} = -1$

2. $\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\text{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$

4. $\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Сначала вычислим выражение в скобках:

$\sin 135^{\circ} \text{tg} 60^{\circ} - \cos 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

6. Теперь возведем результат в квадрат:

$\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

7. Умножим на $\cos 180^{\circ}$:

$-1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$

4) $2\sin^2 150^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \sin^2 45^{\circ} + \text{tg}^2 120^{\circ} - \text{ctg}^2 30^{\circ}$

Вычислим значение каждого слагаемого.

1. $2\sin^2 150^{\circ}$:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$2\sin^2 150^{\circ} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

2. $\cos^2 60^{\circ}$:
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. $\sin^2 45^{\circ}$:
$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin^2 45^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. $\text{tg}^2 120^{\circ}$:
$\text{tg} 120^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\text{tg} 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$\text{tg}^2 120^{\circ} = (-\sqrt{3})^2 = 3$

5. $\text{ctg}^2 30^{\circ}$:
$\text{ctg} 30^{\circ} = \sqrt{3}$
$\text{ctg}^2 30^{\circ} = (\sqrt{3})^2 = 3$

6. Подставим все значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 - 3 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

Ответ: 1.25