Номер 12, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Найдите:

1) cos α, если sin α = $\frac{5}{13}$;

2) sin α, если cos α = $\frac{1}{6}$;

3) tg α, если sin α = $\frac{5}{13}$ и $0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}$;

4) ctg α, если cos α = $-\frac{8}{17}$.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{5}{13}$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$
Так как не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\frac{12}{13}$

2) Для нахождения $\sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{6}$:
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36 - 1}{36} = \frac{35}{36}$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$
Так как не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

3) Для нахождения $\tg\alpha$ нам сначала нужно найти $\cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$
По условию $0° \le \alpha < 90°$, что соответствует I четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак, следовательно, $\cos\alpha = \frac{12}{13}$.
Теперь найдем тангенс по определению $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:
$\tg\alpha = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

4) Для нахождения $\ctg\alpha$ нам сначала нужно найти $\sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$
Теперь найдем котангенс по определению $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Так как знак синуса неизвестен, рассмотрим два возможных случая:
1. Если $\sin\alpha = \frac{15}{17}$, то $\ctg\alpha = \frac{-8/17}{15/17} = -\frac{8}{15}$.
2. Если $\sin\alpha = -\frac{15}{17}$, то $\ctg\alpha = \frac{-8/17}{-15/17} = \frac{8}{15}$.
Следовательно, котангенс может принимать два значения.
Ответ: $\pm\frac{8}{15}$