Номер 13, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;

2) существует угол, $ \sin x $ и $ \cos x $ которого равны;

3) существует угол, $ \sin x = 0 $ и $ \cos x = 0 $;

4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;

5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;

6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;

7) синус угла треугольника может быть равным нулю;

8) косинус угла треугольника может быть равным $ -1 $;

9) синус угла треугольника может быть равным $ 1 $;

10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла;

11) косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого;

12) синусы смежных углов равны;

13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами;

14) если $ \cos \alpha = \cos \beta $, то равны и сами углы;

15) если $ \sin \alpha = \sin \beta $, то равны и сами углы;

16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла;

17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла?

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла; Да, верно. Острый угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$, на котором косинус принимает положительные значения ($\cos \alpha > 0$). Тупой угол $\beta$ принадлежит интервалу $(90^\circ; 180^\circ)$, где косинус принимает отрицательные значения ($\cos \beta < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного. Ответ: Верно.

2) существует угол, синус и косинус которого равны; Да, верно. Это утверждение сводится к решению уравнения $\sin \alpha = \cos \alpha$. Если разделить обе части на $\cos \alpha$ (при условии, что он не равен нулю), получим $\tan \alpha = 1$. Такое равенство выполняется, например, для угла $\alpha = 45^\circ$, где $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: Верно.

3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю; Нет, неверно. Такого угла не существует, так как для любого угла $\alpha$ выполняется основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если бы синус и косинус были одновременно равны нулю, то $0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$. Ответ: Неверно.

4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу; Да, верно. Углы треугольника находятся в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Если один из углов тупой (например, $120^\circ$), то его косинус будет отрицательным. Например, $\cos(120^\circ) = -0.5$. Такой треугольник существует (например, с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$). Ответ: Верно.

5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу; Нет, неверно. Углы треугольника $\alpha$ находятся в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Для любого угла из этого интервала его синус строго положителен ($\sin \alpha > 0$). Ответ: Неверно.

6) косинус угла треугольника может быть равным нулю; Да, верно. Это возможно, если в треугольнике есть прямой угол. Косинус угла $90^\circ$ равен нулю. Такой треугольник называется прямоугольным. Ответ: Верно.

7) синус угла треугольника может быть равным нулю; Нет, неверно. Синус равен нулю для углов $0^\circ$ и $180^\circ$. Однако угол треугольника должен быть строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$, иначе треугольник "вырождается" в отрезок. Ответ: Неверно.

8) косинус угла треугольника может быть равным –1; Нет, неверно. Косинус равен $-1$ для угла $180^\circ$. Угол в треугольнике не может быть равен $180^\circ$, так как сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$, а остальные два угла должны быть положительными. Ответ: Неверно.

9) синус угла треугольника может быть равным 1; Да, верно. Синус равен 1 для угла $90^\circ$. В треугольнике может быть прямой угол (прямоугольный треугольник). Ответ: Верно.

10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла; Да, верно. Синус прямого угла ($90^\circ$) равен 1. Это максимальное значение, которое может принимать функция синуса. Для любого другого угла $\alpha$, не равного $90^\circ + 360^\circ k$ (где $k$ — целое число), значение $\sin \alpha$ будет строго меньше 1. Ответ: Верно.

11) косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого; Да, верно. Косинус развёрнутого угла ($180^\circ$) равен $-1$. Это минимальное значение, которое может принимать функция косинуса. Для любого другого угла $\beta$, не равного $180^\circ + 360^\circ k$ (где $k$ — целое число), значение $\cos \beta$ будет строго больше $-1$. Ответ: Верно.

12) синусы смежных углов равны; Да, верно. Смежные углы $\alpha$ и $\beta$ в сумме дают $180^\circ$, то есть $\beta = 180^\circ - \alpha$. По формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Следовательно, $\sin \beta = \sin \alpha$. Ответ: Верно.

13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами; Да, верно. Для смежных углов $\alpha$ и $\beta = 180^\circ - \alpha$ по формуле приведения имеем $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Таким образом, $\cos \beta = -\cos \alpha$. Это означает, что их косинусы — противоположные числа. Условие "неравных" означает, что углы не равны $90^\circ$, поэтому их косинусы не равны нулю. Ответ: Верно.

14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы; Нет, неверно. Из равенства $\cos \alpha = \cos \beta$ не следует, что $\alpha = \beta$. Например, $\cos(60^\circ) = 0.5$ и $\cos(-60^\circ) = 0.5$, но углы $60^\circ$ и $-60^\circ$ не равны. В общем случае, если $\cos \alpha = \cos \beta$, то $\alpha = \pm \beta + 360^\circ k$, где $k$ — целое число. Ответ: Неверно.

15) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы; Нет, неверно. Из равенства $\sin \alpha = \sin \beta$ не следует, что $\alpha = \beta$. Например, $\sin(30^\circ) = 0.5$ и $\sin(150^\circ) = 0.5$, но углы $30^\circ$ и $150^\circ$ не равны. В общем случае, если $\sin \alpha = \sin \beta$, то $\alpha = \beta + 360^\circ k$ или $\alpha = 180^\circ - \beta + 360^\circ k$, где $k$ — целое число. Ответ: Неверно.

16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла; Да, верно. Тангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) всегда положителен ($\tan \alpha > 0$). Тангенс тупого угла $\beta$ ($90^\circ < \beta < 180^\circ$) всегда отрицателен ($\tan \beta < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного. Ответ: Верно.

17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла? Да, верно. Тангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) всегда положителен ($\tan \alpha > 0$). Котангенс тупого угла $\beta$ ($90^\circ < \beta < 180^\circ$) всегда отрицателен ($\cot \beta < 0$), так как $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$, где $\cos \beta < 0$ и $\sin \beta > 0$. Положительное число всегда больше отрицательного. Ответ: Верно.