Номер 11, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{3}{5}$ и $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$;

2) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{1}{3}$ и $90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$;

4) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha$ = $-0,8$;

5) $\operatorname{tg} \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{4}{5}$ и $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$;

6) $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\cos \alpha$ = $\frac{12}{13}$ и $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{3}{5}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
По условию угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение.Следовательно, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим значение $\sin\alpha = \frac{1}{3}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
По условию $90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение.Следовательно, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16}{16} - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{16}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{4}$.
Так как четверть, в которой находится угол $\alpha$, не указана, возможны оба знака.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{13}}{4}$.

4) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим $\sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставим значение $\cos\alpha = -0,8$:
$\sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Так как четверть не указана, возможны оба знака.
Ответ: $\pm0,6$.

5) Для нахождения $\tg\alpha$ нужно знать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Значение $\sin\alpha$ дано, найдем $\cos\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
По условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (II четверть), косинус в этой четверти отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем тангенс по формуле $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\tg\alpha = \frac{4/5}{-3/5} = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$.

6) Для нахождения $\ctg\alpha$ нужно знать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Значение $\cos\alpha$ дано, найдем $\sin\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169-144}{169} = \frac{25}{169}$.
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.
По условию $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (I четверть), синус в этой четверти положителен, поэтому $\sin\alpha = \frac{5}{13}$.
Теперь найдем котангенс по формуле $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\ctg\alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\frac{12}{5}$.