Номер 2, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a$ — его наибольшая сторона, если:

1) $a^2 < b^2 + c^2$;

2) $a^2 > b^2 + c^2$;

3) $a^2 = b^2 + c^2$?

Для определения типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Теорема косинусов для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Поскольку $a$ — наибольшая сторона треугольника, то угол $\alpha$, лежащий напротив неё, является наибольшим углом треугольника. Тип треугольника определяется именно этим наибольшим углом:

• Если $\alpha < 90^\circ$ (острый угол), то все углы треугольника острые, и треугольник является остроугольным. Для острого угла $\cos(\alpha) > 0$.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (прямой угол), то треугольник является прямоугольным. Для прямого угла $\cos(\alpha) = 0$.
• Если $\alpha > 90^\circ$ (тупой угол), то треугольник является тупоугольным. Для тупого угла $\cos(\alpha) < 0$.

Знаменатель дроби $2bc$ всегда положителен, так как $b$ и $c$ — длины сторон. Следовательно, знак $\cos(\alpha)$ зависит только от знака числителя $b^2 + c^2 - a^2$.

Рассмотрим каждый случай.

1) $a^2 < b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ будет положительным. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} > 0$.

Если косинус угла положительный, то сам угол острый ($\alpha < 90^\circ$). Поскольку $\alpha$ — наибольший угол в треугольнике, и он острый, то и остальные два угла тем более острые. Таким образом, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

2) $a^2 > b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ будет отрицательным. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} < 0$.

Если косинус угла отрицательный, то сам угол тупой ($\alpha > 90^\circ$). Если в треугольнике есть тупой угол, то он является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

3) $a^2 = b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ равно нулю. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{0}{2bc} = 0$.

Если косинус угла равен нулю, то сам угол прямой ($\alpha = 90^\circ$). Это утверждение является теоремой, обратной теореме Пифагора. Если в треугольнике есть прямой угол, то он является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.