Номер 3, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?

Связь между диагоналями и сторонами параллелограмма устанавливается через тождество параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Формулировка теоремы

Пусть $a$ и $b$ — длины смежных сторон параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, то сумма квадратов всех его сторон равна $a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$. Тогда соотношение между сторонами и диагоналями можно выразить следующей формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Доказательство

Для доказательства этой теоремы удобно использовать теорему косинусов. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Пусть диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Обозначим угол при вершине $A$ как $\angle DAB = \alpha$. Тогда угол при вершине $B$, смежный с ним, будет равен $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. По теореме косинусов для стороны $BD$ имеем:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По теореме косинусов для стороны $AC$ имеем:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\alpha)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

3. Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей $d_1^2$ и $d_2^2$:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

Слагаемые $-2ab \cos(\alpha)$ и $+2ab \cos(\alpha)$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон. Эта связь выражается формулой $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.