Номер 7, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. В каких пределах находятся значения $ \cos \alpha $, если $ 0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ} $?

Чтобы определить, в каких пределах находятся значения $cos \alpha$, если $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, проанализируем поведение функции косинуса на этом интервале. Удобно использовать для этого единичную окружность.

Значение косинуса угла $\alpha$ равно абсциссе (координате по оси x) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

1. Рассмотрим начальную точку интервала: при $\alpha = 0^\circ$. Точка на единичной окружности имеет координаты $(1, 0)$. Таким образом, $cos(0^\circ) = 1$. Это является максимальным значением для функции косинуса.

2. По мере того как угол $\alpha$ увеличивается от $0^\circ$ до $90^\circ$ (I координатная четверть), абсцисса точки на окружности плавно уменьшается от 1 до 0. В точке $\alpha = 90^\circ$ значение косинуса равно $cos(90^\circ) = 0$.

3. При дальнейшем увеличении угла $\alpha$ от $90^\circ$ до $180^\circ$ (II координатная четверть), абсцисса точки становится отрицательной и продолжает уменьшаться от 0 до -1.

4. Рассмотрим конечную точку интервала: при $\alpha = 180^\circ$. Точка на единичной окружности имеет координаты $(-1, 0)$. Таким образом, $cos(180^\circ) = -1$. Это является минимальным значением для функции косинуса.

Следовательно, когда угол $\alpha$ изменяется от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно, значение $cos \alpha$ принимает все значения от $1$ до $-1$.

Ответ: $-1 \le cos \alpha \le 1$.