Номер 11, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла?

Синус и косинус одного и того же угла $\alpha$ связаны между собой через основное тригонометрическое тождество. Это тождество является прямым следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности.

Рассмотрим единичную окружность, то есть окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0,0)$. Возьмем на ней произвольную точку $M(x, y)$. Угол, образованный радиус-вектором $OM$ и положительным направлением оси $Ox$, обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций на единичной окружности, координаты точки $M$ равны:
$x = \cos(\alpha)$
$y = \sin(\alpha)$

Точка $M(x, y)$ лежит на окружности, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению окружности $x^2 + y^2 = R^2$. Так как радиус нашей окружности равен 1, уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = 1$.

Подставив в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через косинус и синус, мы получаем искомую связь:
$(\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1$

Это равенство принято записывать в более короткой форме, которая и называется основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Данное тождество справедливо для любого угла $\alpha$ и показывает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Оно позволяет, зная одну из функций (синус или косинус) и четверть, в которой находится угол, найти другую.

Ответ: Синус и косинус одного и того же угла $\alpha$ связаны основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.