Номер 4, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Что называют косинусом угла $\alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$?

Косинус угла $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, определяется с помощью единичной окружности в декартовой системе координат $Oxy$. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1.

Отложим от положительного направления оси абсцисс ($Ox$) угол $\alpha$, поворачивая начальный радиус против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересечет единичную окружность в некоторой точке $P$ с координатами $(x, y)$.

По определению, косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos(\alpha)$) называется абсцисса (координата $x$) точки $P$:
$\cos(\alpha) = x$

Это определение является обобщением определения косинуса для острого угла в прямоугольном треугольнике и позволяет находить значения для углов вплоть до $180^\circ$. В зависимости от величины угла $\alpha$ знак косинуса будет меняться:
- Если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$, точка $P$ находится в первой координатной четверти (или на положительной полуоси $Ox$), где ее абсцисса $x$ положительна или равна 1. Следовательно, $\cos(\alpha) > 0$ (кроме $\cos(0^\circ) = 1$).
- Если $\alpha = 90^\circ$, точка $P$ имеет координаты $(0, 1)$. Ее абсцисса равна 0, поэтому $\cos(90^\circ) = 0$.
- Если $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$, точка $P$ находится во второй координатной четверти (или на отрицательной полуоси $Ox$), где ее абсцисса $x$ отрицательна или равна -1. Следовательно, $\cos(\alpha) < 0$ (кроме $\cos(180^\circ) = -1$).

Таким образом, для любого угла $\alpha$ из указанного диапазона значение косинуса находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$.

Ответ: Косинусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называют абсциссу точки на единичной окружности с центром в начале координат, которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси абсцисс.