Номер 3, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что называют синусом угла $ \alpha $, где $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ $?

Для определения синуса угла $\alpha$ в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ используется единичная полуокружность в прямоугольной системе координат $Oxy$.

1. Построим в системе координат $Oxy$ полуокружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$).

2. От положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$) отложим угол $\alpha$ против часовой стрелки. Подвижный радиус $OM$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$. Конечная точка радиуса $M$ будет лежать на этой полуокружности и иметь координаты $(x; y)$.

Синусом угла $\alpha$ ($sin\,\alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $M$ на единичной полуокружности.

Математически это записывается так: $\sin \alpha = y$.

Рассмотрим значения синуса для разных углов $\alpha$:

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то точка $M$ находится в первой координатной четверти, и ее ордината $y$ положительна. Таким образом, $\sin \alpha > 0$.
• Если угол $\alpha = 90^\circ$, то точка $M$ имеет координаты $(0, 1)$. Следовательно, $\sin 90^\circ = 1$.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то точка $M$ находится во второй координатной четверти, и ее ордината $y$ также положительна. Таким образом, $\sin \alpha > 0$.
• В крайних случаях: при $\alpha = 0^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(1, 0)$, поэтому $\sin 0^\circ = 0$. При $\alpha = 180^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(-1, 0)$, поэтому $\sin 180^\circ = 0$.

Таким образом, для любого угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ его синус принимает значения от $0$ до $1$, то есть $0 \le \sin \alpha \le 1$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называют ординату точки, лежащей на единичной полуокружности (с центром в начале координат и радиусом 1), которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси $Ox$.