Номер 84, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

84. Для нахождения расстояния от точки A до колокольни B, расположенной на другом берегу речки (рис. 19), с помощью вех, рулетки и прибора для измерения углов (теодолита) отметили на местности точку C такую, что $ \angle BAC = 42^\circ $, $ \angle ACB = 64^\circ $, $ AC = 20 $ м. Как найти расстояние от A до B? Найдите это расстояние.

Рис. 19

Как найти расстояние от A до B?

Для нахождения расстояния от точки A до точки B (длины стороны AB треугольника ABC) можно применить теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Порядок действий следующий:

1. Найти величину третьего угла треугольника, $\angle ABC$, используя тот факт, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB $.
2. Составить пропорцию на основе теоремы синусов, связывающую искомую сторону AB, известную сторону AC и противолежащие им углы $\angle ACB$ и $\angle ABC$: $ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $.
3. Выразить из пропорции искомую сторону AB: $ AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(\angle ABC)} $, а затем подставить известные значения и вычислить результат.

Ответ: Расстояние от A до B можно найти, вычислив третий угол треугольника ABC и применив теорему синусов.

Найдите это расстояние.

Дано: треугольник ABC, в котором сторона $AC = 20$ м, угол $\angle BAC = 42^\circ$ и угол $\angle ACB = 64^\circ$.

1. Находим угол $\angle ABC$:
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно: $$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (42^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ $$

2. Применяем теорему синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $$ Подставляем известные значения: $$ \frac{AB}{\sin(64^\circ)} = \frac{20}{\sin(74^\circ)} $$

3. Выражаем и вычисляем AB: $$ AB = \frac{20 \cdot \sin(64^\circ)}{\sin(74^\circ)} $$ Используя калькулятор для нахождения значений синусов ($\sin(64^\circ) \approx 0,8988$ и $\sin(74^\circ) \approx 0,9613$): $$ AB \approx \frac{20 \cdot 0,8988}{0,9613} \approx \frac{17,976}{0,9613} \approx 18,7 \text{ м} $$

Ответ: Расстояние от A до B примерно равно 18,7 м.