Номер 86, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

86. Диагональ параллелограмма равна $d$ и образует с его сторонами углы $\alpha$ и $\beta$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$, длина которой по условию равна $d$. Эта диагональ образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. То есть, $\angle BAC = \alpha$ и $\angle DAC = \beta$. Нам нужно найти длины сторон параллелограмма, обозначим их как $a = AB$ и $b = AD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Найдем стороны $AB$ и $BC$ из треугольника $\triangle ABC$.

В этом треугольнике мы знаем:

• Сторону $AC = d$.
• Угол $\angle BAC = \alpha$.

Найдем остальные углы треугольника $\triangle ABC$:

• Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ равны. Таким образом, $\angle BCA = \angle DAC = \beta$.
• Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Значит, для $\triangle ABC$ можем найти угол $\angle ABC$:
  $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь, когда мы знаем все углы треугольника $\triangle ABC$ и одну его сторону $AC = d$, мы можем найти две другие стороны ($AB$ и $BC$) с помощью теоремы синусов.

Теорема синусов для треугольника $\triangle ABC$ гласит:

$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого соотношения выразим стороны $a$ и $b$:

1. Найдем сторону $a$ (которая равна $AB$):
$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} \implies a = \frac{d \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

2. Найдем сторону $b$ (которая равна $BC$):
$\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\alpha + \beta)} \implies b = \frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Таким образом, мы нашли длины смежных сторон параллелограмма.

Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{d \sin(\alpha)}{\sin(\alpha + \beta)}$ и $\frac{d \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.