Номер 92, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

92. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AOC}$ — искомый радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$.

По условию задачи, $R = 6$ см, а $\angle ABC = 60^\circ$.

1. Найдём длину стороны AC.
По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R $
Отсюда выразим $AC$:
$ AC = 2R \cdot \sin(\angle ABC) = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

2. Найдём величину угла AOC.
Точка $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Это значит, что $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.
Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:
$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ $
$ \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
Рассмотрим треугольник $AOC$. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны:
$ \angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC $
$ \angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA $
Сумма этих углов равна:
$ \angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ $
Сумма углов в треугольнике $AOC$ также равна $180^\circ$:
$ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

3. Найдём радиус окружности, описанной около треугольника AOC.
Применим теорему синусов для треугольника $AOC$:
$ \frac{AC}{\sin(\angle AOC)} = 2R_{AOC} $
Отсюда выразим $R_{AOC}$:
$ R_{AOC} = \frac{AC}{2\sin(\angle AOC)} $
Подставим известные значения $AC = 6\sqrt{3}$ и $\angle AOC = 120^\circ$:
$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ R_{AOC} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.